[рис.] а)  Прямая MN  — средняя линия треугольника $SAB$ Пусть отрезок SE пересекает MN в точке K, тогда $SK=KE$ Пусть K'  — проекция точки K на плоскость ABC, а O  — центр основания (проекция точки S), тогда K' лежит на OE, то есть на медиане CE. Кроме того, точка K' принадлежит сечению α. Заметим, что так как $SK=KE$ то по теореме Фалеса $OK'=K'E$ При этом, $CO:OE=2:1$ как медиана. Таким образом,

$CK':K'E= ( 2 + $\frac{1}{2}$ ) : $\frac{1}{2}$ = $\frac{5}{2}$ : $\frac{1}{2}$ =5:1$

б)  Так как прямая MN параллельна прямой AB, плоскость α пересекает плоскость ABC по прямой RP, параллельной прямой AB, то есть сечение является трапецией. При этом, так как треугольники AMR и BNP равны, то $MR=NP$ то есть трапеция = бедренная. По доказанному, $RP= $\frac{5}{6}$ AB=5$ $MN= $\frac{1}{2}$ AB=3$ Пусть γ   — угол при основании боковой грани пирамиды. Тогда $\cos гамма = $\frac{AE}{SA}$ = \frac{3}{4}$ $AM=2$ $AR= $\frac{1}{6}$ \cdot 6=1$ По теореме \cos ов,

$MR ^2 =AM ^2 + AR ^2 - 2AM \cdot AR \cdot \cos гамма =4 + 1 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot $\frac{3}{4}$ =2$

Следовательно, $MR= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$
Таким образом, $P_MNPR=5 + 3 + 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента =8 + 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$

Приведём другое решение.
[рис.]
Имеем: $AB=6$ $SA=4$ Пусть $M_1$ и $N_1$   — проекции M и N на ABC. Далее, SH  — высота, $MM_1= $\frac{1}{2}$ SH=NN_1$ прямые $MM_1$ SH и $NN_1$ параллельны друг другу. Значит, $MNN_1M_1$ перпендикулярна ABC. Прямая $M_1N_1$ пересекает прямые AC и BC в точках P и Q соответственно. Плоскость PMNQ  — искомое сечение. Пусть CK  — медиана треугольника ABC, точка H  — точка пересечения медиан треугольника ACB. Следовательно, CH : HK  =  2 : 1, $M_1N_1$   — средняя линия треугольника AHB, HT  =  TK. Значит,

$CT:TK= ( 2 + $\frac{1}{2}$ ) : ( 1 - $\frac{1}{2}$ ) =5:1$

б)  Имеем: $MN= $\frac{1}{2}$ AB=3$ треугольники PCQ и ACB подобны с $k= \frac{5}{6}$ (из пункта а). Следовательно, $PQ= $\frac{5}{6}$ \cdot AB=5$ $\cos \angle SBC= $\frac{\dfrac12BC}{BS}$ = \frac{3}{4}$ $BN= $\frac{1}{2}$ BS=2$ $BQ=1$ [рис.] Следовательно, по теореме \cos ов:

$NQ ^2 =2 ^2 + 1 ^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot $\frac{3}{4}$ =2$

Следовательно, $NQ=MP= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$
Таким образом,

$P_PMNQ=3 + 5 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента =8 + 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$

Ответ: б) $8 + 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$