Точки M, N и P лежат на боковых ребрах правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ и делят их в отношении $AM:MA_1=1:2$ $BN:NB_1=1:3$ $CP:PC_1=2:3$
а) В каком отношении делит объем призмы плоскость, проходящая через точки M, N и P?
б) Докажите, что MNP — прямоугольный треугольник, если сторона основания призмы равна $2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента$ а боковое ребро = 60.
а) В каком отношении делит объем призмы плоскость, проходящая через точки M, N и P?
б) Докажите, что MNP — прямоугольный треугольник, если сторона основания призмы равна $2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента$ а боковое ребро = 60.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] Обозначим высоту призмы за $60h$ а сторону основания за $2a$ Тогда площадь основания $\frac{1}{2} \cdot 2a \cdot $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента a= $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента a ^2$ и объем всей призмы равен $60 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ha ^2 =V$ Отметим, что $AM=20h$ $BN=15h$ $CP=24h$
а) Имеем:
$V_ABCMNP=V_NMPAC + V_NBAC= $\frac{1}{3}$ d ( N, MPAC ) \cdot S_MPAC + $\frac{1}{3}$ d ( N,ABC ) \cdot S_ABC=$ $V_ABCMNP=V_NMPAC + V_NBAC=$
$= $\frac{1}{3}$ d ( N, MPAC ) \cdot S_MPAC + $\frac{1}{3}$ d ( N,ABC ) \cdot S_ABC=$
$= $\frac{1}{3}$ \cdot $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента a \cdot $\frac{AM + PC}{2}$ \cdot AC + $\frac{1}{3}$ \cdot BN \cdot S_ABC=$
$= $\frac{1}{3}$ \cdot $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента a \cdot 22h \cdot 2a + $\frac{1}{3}$ \cdot 15h \cdot a ^2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = $\frac{59}{3}$ ha ^2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
Значит, объем второй части равен
$V - $\frac{59}{3}$ ha ^2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = $\frac{121}{3}$ ha ^2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
и отношение объемов $59:121$
Комментарий. Можно доказать, что это отношение всегда = $( AM + BN + CP ) : ( A_1M + B_1N + C_1P )$
б) Отрезки MN, NP и MP можно найти из прямоугольных трапеций MNBA, NPCB и MPCA соответственно. Например, если опустить высоту из N на AM, то она будет равна $AB=2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента$ отрезок от ее основания до M будет равен $AM - BN=20h - 15h=5h=5$ поскольку $60h=60$ Значит, по теореме Пифагора $MN= $\sqrt{аргумента: 40 + 25}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 65}$ аргумента$ Аналогично $BP= $\sqrt{аргумента: 40 + 81}$ аргумента =11$ и $CP= $\sqrt{аргумента: 40 + 16}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 56}$ аргумента$ Поскольку $56 + 65=121$ треугольник MNP прямоугольный по обратной теореме Пифагора.
Ответ: а) $59:121$
а) Имеем:
$V_ABCMNP=V_NMPAC + V_NBAC= $\frac{1}{3}$ d ( N, MPAC ) \cdot S_MPAC + $\frac{1}{3}$ d ( N,ABC ) \cdot S_ABC=$ $V_ABCMNP=V_NMPAC + V_NBAC=$
$= $\frac{1}{3}$ d ( N, MPAC ) \cdot S_MPAC + $\frac{1}{3}$ d ( N,ABC ) \cdot S_ABC=$
$= $\frac{1}{3}$ \cdot $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента a \cdot $\frac{AM + PC}{2}$ \cdot AC + $\frac{1}{3}$ \cdot BN \cdot S_ABC=$
$= $\frac{1}{3}$ \cdot $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента a \cdot 22h \cdot 2a + $\frac{1}{3}$ \cdot 15h \cdot a ^2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = $\frac{59}{3}$ ha ^2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
Значит, объем второй части равен
$V - $\frac{59}{3}$ ha ^2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = $\frac{121}{3}$ ha ^2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
и отношение объемов $59:121$
Комментарий. Можно доказать, что это отношение всегда = $( AM + BN + CP ) : ( A_1M + B_1N + C_1P )$
б) Отрезки MN, NP и MP можно найти из прямоугольных трапеций MNBA, NPCB и MPCA соответственно. Например, если опустить высоту из N на AM, то она будет равна $AB=2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента$ отрезок от ее основания до M будет равен $AM - BN=20h - 15h=5h=5$ поскольку $60h=60$ Значит, по теореме Пифагора $MN= $\sqrt{аргумента: 40 + 25}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 65}$ аргумента$ Аналогично $BP= $\sqrt{аргумента: 40 + 81}$ аргумента =11$ и $CP= $\sqrt{аргумента: 40 + 16}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 56}$ аргумента$ Поскольку $56 + 65=121$ треугольник MNP прямоугольный по обратной теореме Пифагора.
Ответ: а) $59:121$
Правильный ответ:
а) $59:121$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 64658 • Задание №2
В школе французский язык изучают 124 учащихся, что составляет 25% от числа всех учащихся школы. Сколько учащих...
ID 67966 • Задание №14
В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 5 и BC = 6. Длины бо...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ. | 2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено
ИЛИ
при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ. | 2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено
ИЛИ
при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
🔗 Другие задания линии №10 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 66389
В 2008 году в городском квартале проживало $40 \thinspace 000$ человек. В 2009 году, в результа...
ID 66390
В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешев...
ID 66391
Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек доро...
ID 66392
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общ...
ID 66393
Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей...