[рис.] Допустим $AB=2a$ $AS=b$ Тогда апофема грани равна $\sqrt{аргумента: b ^2 - a ^2} аргумента =2$ а угол между боковым ребром и основанием можно найти из треугольника SAO, где O  — центр основания. Тогда $AO= $\frac{1}{2}$ AC= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента a$ и, значит, $\cos \angle SAO= \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента a}{b}$ По условию \text{tg} этого угла равен $\frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}$ поэтому \cos равен $\frac{1}{\sqrt{аргумента: 1 + $\frac{3,}{2}$} аргумента} = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}$ Итак, $\frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента} = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента a}{b}$ откуда $b= $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента a$ Подставляя это выражение в уравнение про апофему, получим $a=1$ Тогда $b= $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$ сторона основания 2 и высота пирамиды $\sqrt{аргумента: 5 - 2} аргумента = $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
[рис.]
а)  Отметим точку M  — середину EF. Она лежит на AO и делит его в отношении $AE:EB=1:2$ то есть $AM= $\frac{1}{6}$ AC$ Рассмотрим плоскость ASC и обозначим за P точку пересечения MK и SO. По теореме Менелая для треугольника CSO и прямой KPM имеем $\frac{CK}{KS} \cdot $\frac{SP}{PO}$ \cdot $\frac{OM}{MC}$ =1$ откуда $SP:PO=5:4$ Проведем теперь через точку P прямую, параллельную BD (а следовательно, и EF). Она пересечет ребра SD и SB в точках U и V соответственно, таких что $SU:UD=SV:VB=5:4$ Пятиугольник EFUKV  — сечение.
По теореме Менелая для треугольника CMK и прямой OPS имеем $\frac{CO}{OM} \cdot $\frac{MP}{PK}$ \cdot $\frac{KS}{SC}$ =1$ откуда $MP:PK=2:1$ Поскольку проекция MK на плоскость основания  — прямая прямая AC перпендикулярна прямой EF, то и прямая MK перпендикулярна прямой EF. Если опустить перпендикуляр KT на OC, то треугольники CKT и CSO будут подобны, поэтому

$CT:CO=CK:CS=2:3$

откуда $OT= $\frac{1}{3}$ CO$ и

$MT=AO + OT - AM=AO - $\frac{1}{3}$ AO + $\frac{1}{3}$ CO=AO$

Кроме того, $KT= $\frac{2}{3}$ SO= $\frac{2}{3}$ $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ Поэтому

$MK= $\sqrt{аргумента: MT ^2 + KT ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: 2 + $\frac{4}{3}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}$

Наконец,

$S_EFUKV=S_EFUV + S_KUV= $\frac{EF + UV}{2}$ \cdot PM + $\frac{1}{2}$ PK \cdot UV=$
$= \frac{$\frac{1}{3}$ BD + $\frac{5}{9}$ BD,}{2} \cdot $\frac{2}{3}$ MK + $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{1}{3}$ KM \cdot $\frac{5}{9}$ BD= ( $\frac{8}{27}$ + $\frac{5}{54}$ ) KM \cdot BD= $\frac{7}{18}$ \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = \frac{14 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{9 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}$ $= \frac{$\frac{1}{3}$ BD + $\frac{5}{9}$ BD,}{2} \cdot $\frac{2}{3}$ MK + $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{1}{3}$ KM \cdot $\frac{5}{9}$ BD=$
$= ( $\frac{8}{27}$ + $\frac{5}{54}$ ) KM \cdot BD= $\frac{7}{18}$ \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = \frac{14 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{9 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}$ $= \frac{$\frac{1}{3}$ BD + $\frac{5}{9}$ BD,}{2} \cdot $\frac{2}{3}$ MK + $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{1}{3}$ KM \cdot $\frac{5}{9}$ BD=$
$= ( $\frac{8}{27}$ + $\frac{5}{54}$ ) KM \cdot BD=$
$= $\frac{7}{18}$ \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = \frac{14 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{9 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}$

б)  Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными по AB, AD и перпендикуляру к плоскости основания соответственно. Тогда точки будут иметь следующие координаты  — $F ( $\frac{2}{3}$ ;0;0 )$ $E ( 0; $\frac{2}{3}$ ;0 )$ $C ( 2;2;0 )$ $S ( 1;1; $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента )$ Точка K делит SC в отношении $2:1$ поэтому ее координаты будут $( $\frac{4}{3}$ ; $\frac{4}{3}$ ; $\frac{2}{3}$ $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента )$ Найдем уравнение плоскости EFK. Пусть оно имеет вид $Ax + By + Cz + D=0$ Подставляя координаты точек, получим три уравнения:

$\frac{2}{3} A + D=0$      $\frac{2}{3} B + D=0$      $\frac{4}{3} A + $\frac{4}{3}$ B + $\frac{2}{3}$ $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента C + D=0$

Возьмем $D= - 2$ тогда из первых двух уравнений $A=B=3$ а тогда из последнего $C= - 3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ Итак, ее уравнение $3x + 3y - 3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента z - 2=0$

Найдем теперь угол между этой плоскостью и вектором $\overrightarrowSD= \{ 1; - 1; - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \}$ :

$\sin альфа = \frac{|3 - 3 + 9|}{$\sqrt{аргумента: 9 + 9 + 27}$ аргумента $\sqrt{аргумента: 1 + 1 + 3}$ аргумента} = \frac{3}{5}$

Ответ: а) $\frac{14 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{9 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}$ б) $\arcsin \frac{3}{5}$