[рис.] По условию $\angle SBD=60 в степени ( \circ )$ поэтому треугольник BSD  — = сторонний. Пусть $BS=a$ тогда $AC=a$ $AB= \frac{a}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}$ Значит, апофема пирамиды равна

$\sqrt{аргумента: SC ^2 - $\frac{1}{4}$ CD ^2} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{7}{8}$} аргумента a$

а высота пирамиды (то есть высота треугольника SCA) равна $\frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} a$
Рассмотрим треугольник, образованный двумя апофемами противоположных граней и отрезком длиной $\frac{a}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}$ соединяющим их концы. С одной стороны его площадь равна

$\frac{1}{2} \cdot SH \cdot \frac{a}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{4 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} a ^2$

C другой стороны она же равна половине произведения апофемы на высоту к ней, поэтому эта высота равна $\frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента} a$ а расстояние от точки H до апофемы  — вдвое меньше. Но оно и есть расстояние от H до плоскости CSD, откуда $\frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента} a= $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента$ $a=2 $\sqrt{аргумента: 14}$ аргумента$
а)  Рассмотрим центр описанной окружности треугольника SCA (он же  — центр описанной окружности треугольника SDB). Это точка = удалена от всех вершин, поэтому является центром описанной сферы пирамиды. Значит,

$R= $\frac{2}{3}$ SH= \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3} a= \frac{2 $\sqrt{аргумента: 42}$ аргумента}{3}$

б)  Сечение пирамиды этой плоскостью  — очевидно квадрат со стороной $\frac{AB}{2} = $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента$ и площади 7. Сечение сферы радиуса R плоскостью, проходящей на расстоянии $h меньше R$ от центра, представляет собой окружность радиусом $\sqrt{аргумента: R ^2 - h ^2} аргумента$ Очевидно расстояние от центра сферы до середины высоты =

$\frac{1}{2} SH - $\frac{1}{3}$ SH= $\frac{1}{6}$ SH$

Поэтому площадь сечения будет равна:

$\pi ( R ^2 - h ^2 ) = \pi ( $\frac{168}{9}$ - $\frac{1}{36}$ \cdot SH ^2 ) = \pi ( $\frac{168}{9}$ - $\frac{1}{36}$ \cdot $\frac{3}{4}$ \cdot 56 ) = \pi ( $\frac{56}{3}$ - $\frac{7}{6}$ ) = $\frac{35}{2}$ \pi$ $\pi ( R ^2 - h ^2 ) = \pi ( $\frac{168}{9}$ - $\frac{1}{36}$ \cdot SH ^2 ) =$
$= \pi ( $\frac{168}{9}$ - $\frac{1}{36}$ \cdot $\frac{3}{4}$ \cdot 56 ) = \pi ( $\frac{56}{3}$ - $\frac{7}{6}$ ) = $\frac{35}{2}$ \pi$

Значит, искомое отношение = $\frac{35}{2} \pi :7=5 \pi :2$

Ответ: а) $\frac{2 $\sqrt{аргумента: 42}$ аргумента}{3}$ б) $5 \pi :2$