[рис.] а)  Пусть M  — точка пересечения плоскости α с ребром CD, а точка O  — с прямой BD1. Обозначим H  — точку пересечения прямых AM и BD. Заметим, что прямая AM перпендикулярна прямой BD1, кроме того, прямая AM перпендикулярна прямой DD1 как прямая, лежащая в основании. Следовательно, прямая AM перпендикулярна плоскости BDD1, а значит, прямая AM перпендикулярна прямой OH. Тогда, так как OH  — проекция BH на плоскость α, по теореме о трёх перпендикулярах прямая BH перпендикулярна прямой AM. Значит,

$\angle ADB=\angle HAB=\angle HMD$
$\text{tg} \angle ADB= \text{tg} \angle HMD= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$

следовательно, $\frac{AD}{DM} = $\frac{AB}{AD}$ = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ откуда

$\frac{AB}{AD} \cdot $\frac{AD}{DM}$ = $\frac{AB}{DM}$ = ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) ^2 =2$

Значит, точка M  — середина отрезка CD.
б)  В п. а) было показано, что прямая OH перпендикулярна прямой AM, прямая BH перпендикулярна прямой AM, следовательно, угол OHB  — линейный угол угла между плоскостью основания и плоскостью α. Найдём его. Пусть точка N  — точка пересечения плоскости α с ребром B1D1. Тогда по свойствам сечений прямые AM и NC1 параллельны, следовательно, точка N  — середина B1D1. Очевидно, что отрезок MN проходит через центр параллелепипеда, через него же проходит и диагональ BD1, следовательно, это точка O  — точка пересечения диагонали BD1 и плоскости α.
Обозначим a  =  AD  =  BC, h  =  BB1. Тогда: $AB=a $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ $BD=a $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ $MN=CB_1= $\sqrt{аргумента: a ^2 + h ^2}$ аргумента$ $BD_1= $\sqrt{аргумента: 3a ^2 + h ^2}$ аргумента$ Из прямоугольных треугольников NBB1 и BON вычислим квадрат длины отрезка BN двумя способами, получим равенство:

$h ^2 + $\frac{a ^2}{2}$ = $\frac{1}{4}$ ( 3a ^2 + h ^2 ) + $\frac{1}{4}$ ( a ^2 + h ^2 ) = сильно h ^2 + $\frac{a ^2}{2}$ =a ^2 + $\frac{h ^2}{2}$ = сильно h=a$

Прямоугольные треугольники BHO и BDD1 подобны, следовательно, угол OHB равен углу BD1D, при этом

$\text{tg} \angle BD_1D= $\frac{BD}{DD_1}$ = \frac{a $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{a} = $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

поэтому, $\angle OHB=\angle BD_1D=60 ^{\circ}$

Ответ: б) 60°.

Примечание.
Читателю будет полезно сравнить решение этой задачи с задачами 634951 и 556601.