Найдем ограничения на x.

$$$\begin{cases} новая строка x - 4 больше или = 0 \\[6pt] новая строка $\frac{x}{2}$ не = $\frac{\pi}{2}$ + \pi n \\[6pt] n принадлежит Z \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x больше или = 4 \\[6pt] новая строка x не = \pi + 2 \pi n \\[6pt] n принадлежит Z . \end{cases}$$$

Далее заданное неравенство будем рассматривать только на множестве $M= \{ x|x больше или = 4;x не = \pi + 2 \pi n,n принадлежит Z \}$
Так как $134 + \text{tg} ^2 x больше 1,21x + 16 больше 0$ для всех $x принадлежит M$ то на M:

$\log _134 + \text{tg} ^2 ( $\frac{x}{2}$ ) $\sqrt{аргумента: 21x + 16}$ аргумента меньше \log _134 + \text{tg} ^2 ( $\frac{x}{2}$ ) ( 20 + $\sqrt{аргумента: x - 4}$ аргумента )$
$\sqrt{аргумента: 21x + 16} аргумента меньше 20 + $\sqrt{аргумента: x - 4}$ аргумента$

$21x + 16 меньше 400 + 40 $\sqrt{аргумента: x - 4}$ аргумента + x - 4 = сильно 20x - 380 меньше 40 $\sqrt{аргумента: x - 4}$ аргумента = сильно x - 19 меньше 2 $\sqrt{аргумента: x - 4}$ аргумента = сильно$ $21x + 16 меньше 400 + 40 $\sqrt{аргумента: x - 4}$ аргумента + x - 4 = сильно$
$ = сильно 20x - 380 меньше 40 $\sqrt{аргумента: x - 4}$ аргумента = сильно x - 19 меньше 2 $\sqrt{аргумента: x - 4}$ аргумента = сильно$

$ = сильно \left[ \begin{array}{l} 4 меньше или = x меньше 19, $$\begin{cases} x больше или = 19 \\[6pt] x ^2 - 38x + 361 меньше 4 ( x - 4 ) \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} 4 меньше или = x меньше 19, $$\begin{cases} x больше или = 19 \\[6pt] x ^2 - 42x + 377 меньше 0 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно$

$ = сильно \left[ \begin{array}{l} 4 меньше или = x меньше 19, $$\begin{cases} x больше или = 19 \\[6pt] 21 - $\sqrt{аргумента: 441 - 377}$ аргумента меньше x меньше 21 + 8 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} 4 меньше или = x меньше 19, $$\begin{cases} x больше или = 19 \\[6pt] 13 меньше x меньше 29 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно 4 меньше или = x меньше 29$ $ = сильно \left[ \begin{array}{l} 4 меньше или = x меньше 19, $$\begin{cases} x больше или = 19 \\[6pt] 21 - $\sqrt{аргумента: 441 - 377}$ аргумента меньше x меньше 21 + 8 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} 4 меньше или = x меньше 19, $$\begin{cases} x больше или = 19 \\[6pt] 13 меньше x меньше 29 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно 4 меньше или = x меньше 29$

С учетом ограничений на x получим: $x принадлежит [ 4;3 \pi ) \cup ( 3 \pi ;5 \pi ) \cup ( 5 \pi ;7 \pi ) \cup ( 7 \pi ;9 \pi ) \cup ( 9 \pi ;29 )$

Для полноты решения докажем, что $9 \pi меньше 29$ Действительно, $9 \cdot 3,15=28,35 меньше 29$ Очевидно: $11 \pi больше 29$

Ответ: $[ 4;3 \pi ) \cup ( 3 \pi ;5 \pi ) \cup ( 5 \pi ;7 \pi ) \cup ( 7 \pi ;9 \pi ) \cup ( 9 \pi ;29 )$