а) Решите уравнение $2 - 2 \cos ( \pi + 2x ) - $\sqrt{аргумента: 8}$ аргумента \cos x = $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: 12}$ аргумента \cos x$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ $\frac{\pi}{2}$ ; 2 \pi ]$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ $\frac{\pi}{2}$ ; 2 \pi ]$
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Применяя формулу приведения и формулу \cos а двойного угла, получаем:
$\cos ( \pi + 2x ) = - \cos 2x = - ( 2 \cos ^2 x - 1 ) = 1 - 2 \cos ^2 x$
находим:
$2 - 2 ( 1 - 2 \cos ^2 x ) - $\sqrt{аргумента: 8}$ аргумента \cos x = $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: 12}$ аргумента \cos x = сильно$
$ = сильно 4 \cos ^2 x - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos x + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cos x - $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента = 0 = сильно 4 \cos ^2 x + ( 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) \cos x - $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента = 0 = сильно$
$ = сильно \cos ^2 x + ( \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} - \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} ) \cos x - \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{4} = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos x = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} , \cos x = - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, x = - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, x = $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi k, x = - $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $2 - 2 ( 1 - 2 \cos ^2 x ) - $\sqrt{аргумента: 8}$ аргумента \cos x = $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: 12}$ аргумента \cos x = сильно$
$ = сильно 4 \cos ^2 x - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos x + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cos x - $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента = 0 = сильно 4 \cos ^2 x + ( 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) \cos x - $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента = 0 = сильно$
$ = сильно \cos ^2 x + ( \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} - \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} ) \cos x - \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{4} = 0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos x = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} , \cos x = - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, x = - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, x = $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi k, x = - $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $2 - 2 ( 1 - 2 \cos ^2 x ) - $\sqrt{аргумента: 8}$ аргумента \cos x = $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: 12}$ аргумента \cos x = сильно$
$ = сильно 4 \cos ^2 x - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos x + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cos x - $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента = 0 = сильно$
$ = сильно 4 \cos ^2 x + ( 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) \cos x - $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента = 0 = сильно \cos ^2 x + ( \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} - \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} ) \cos x - \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{4} = 0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos x = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} , \cos x = - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, x = - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, x = $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi k, x = - $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $2 - 2 ( 1 - 2 \cos ^2 x ) - $\sqrt{аргумента: 8}$ аргумента \cos x = $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: 12}$ аргумента \cos x = сильно$
$ = сильно 4 \cos ^2 x - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos x + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cos x - $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента = 0 = сильно$
$ = сильно 4 \cos ^2 x + ( 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) \cos x - $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента = 0 = сильно$
$ = сильно \cos ^2 x + ( \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} - \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} ) \cos x - \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{4} = 0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos x = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} , \cos x = - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, x = - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, x = $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi k, x = - $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$
б) Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Подходят числа $\frac{5 \pi}{6}$ $\frac{7 \pi}{6}$ $\frac{7 \pi}{4}$
Ответ: а) $\{ $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k; - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k; $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi k; - $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi k : k принадлежит Z \}$ б) $\frac{5 \pi}{6}$ $\frac{7 \pi}{6}$ $\frac{7 \pi}{4}$
$\cos ( \pi + 2x ) = - \cos 2x = - ( 2 \cos ^2 x - 1 ) = 1 - 2 \cos ^2 x$
находим:
$2 - 2 ( 1 - 2 \cos ^2 x ) - $\sqrt{аргумента: 8}$ аргумента \cos x = $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: 12}$ аргумента \cos x = сильно$
$ = сильно 4 \cos ^2 x - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos x + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cos x - $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента = 0 = сильно 4 \cos ^2 x + ( 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) \cos x - $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента = 0 = сильно$
$ = сильно \cos ^2 x + ( \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} - \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} ) \cos x - \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{4} = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos x = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} , \cos x = - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, x = - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, x = $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi k, x = - $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $2 - 2 ( 1 - 2 \cos ^2 x ) - $\sqrt{аргумента: 8}$ аргумента \cos x = $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: 12}$ аргумента \cos x = сильно$
$ = сильно 4 \cos ^2 x - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos x + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cos x - $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента = 0 = сильно 4 \cos ^2 x + ( 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) \cos x - $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента = 0 = сильно$
$ = сильно \cos ^2 x + ( \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} - \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} ) \cos x - \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{4} = 0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos x = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} , \cos x = - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, x = - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, x = $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi k, x = - $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $2 - 2 ( 1 - 2 \cos ^2 x ) - $\sqrt{аргумента: 8}$ аргумента \cos x = $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: 12}$ аргумента \cos x = сильно$
$ = сильно 4 \cos ^2 x - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos x + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cos x - $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента = 0 = сильно$
$ = сильно 4 \cos ^2 x + ( 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) \cos x - $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента = 0 = сильно \cos ^2 x + ( \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} - \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} ) \cos x - \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{4} = 0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos x = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} , \cos x = - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, x = - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, x = $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi k, x = - $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $2 - 2 ( 1 - 2 \cos ^2 x ) - $\sqrt{аргумента: 8}$ аргумента \cos x = $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: 12}$ аргумента \cos x = сильно$
$ = сильно 4 \cos ^2 x - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos x + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cos x - $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента = 0 = сильно$
$ = сильно 4 \cos ^2 x + ( 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) \cos x - $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента = 0 = сильно$
$ = сильно \cos ^2 x + ( \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} - \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} ) \cos x - \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{4} = 0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos x = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} , \cos x = - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, x = - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, x = $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi k, x = - $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$
б) Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Подходят числа $\frac{5 \pi}{6}$ $\frac{7 \pi}{6}$ $\frac{7 \pi}{4}$
Ответ: а) $\{ $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k; - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k; $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi k; - $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi k : k принадлежит Z \}$ б) $\frac{5 \pi}{6}$ $\frac{7 \pi}{6}$ $\frac{7 \pi}{4}$
Правильный ответ:
а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка$ б) $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 70020 • Задание №17
Площадь треугольника ABC равна 10, площадь треугольника AHB, где H — точка пересечения высот, равна 8. На пря...
ID 71784 • Задание №19
Петя играет солдатиками из двух разных наборов. В первом наборе солдатиков меньше, чем во втором, но больше че...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №13 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 67377
а) Решите уравнение $9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель...
ID 67378
а) Решите уравнение: $4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 2 в степе...
ID 67379
а) Решите уравнение $27 в степени x минус 5 умножить на 9 в степени x минус 3 в степени левая ...
ID 67380
а) Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 1 правая круг...
ID 67381
а) Решите уравнение $3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: ...