[рис.] По основному тригонометрическому тождеству $\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$ Обозначим $t = \sin x$ тогда

$2 t ^3 + t + 2 $\sqrt{2}$ = 2 $\sqrt{2}$ ( 1 - t ^2 ) = сильно 2 t ^3 + 2 $\sqrt{2}$ t ^2 + t = 0 = сильно$

$ = сильно t ( 2 t ^2 + 2 $\sqrt{2}$ t + 1 ) = 0 = сильно t ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента t + 1 ) ^2 = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} t = 0,t = - \frac{$\sqrt{2}$}{2} . \end{array} \right.$

Вернемся к исходной переменной, получим:

$\left[ \begin{array}{l} \sin x = 0, \sin x = - \frac{$\sqrt{2}$ }2 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = \pi k, x = - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, x = $\frac{5 \pi}{4}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит \mathbb{Z,}{.}$

Чтобы отобрать корни, лежащие на заданном отрезке, воспользуемся тригонометрической окружностью (см. рис.). Получим корни $ - \frac{9 \pi}{4}$ $ - 2 \pi$ $ - \pi$

Ответ: а) $\{ - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, \pi k, $\frac{5 \pi}{4}$ + 2 \pi k : k принадлежит Z \}$ б) $ - \frac{9 \pi}{4}$ $ - 2 \pi$ $ - \pi$

Примечание.
Мы решили уравнение $2 t ^2 + 2 $\sqrt{2}$ t + 1=0$ записав левую часть в виде полного квадрата $( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента t + 1 ) ^2$ Можно было найти дискриминант $D = ( 2 $\sqrt{2}$ ) ^2 - 8 = 0$ и прийти к выводу, что уравнение имеет единственный корень

$t = - \frac{b}{} 2a = - \frac{2 $\sqrt{2}$}{4} = - \frac{$\sqrt{2}$}{2}$