а)  Преобразуем уравнение:

$\sin ^3 x + \cos ^3 x= \sin ^2 x + \cos ^2 x = сильно ( \sin x + \cos x ) ( 1 - \sin x \cos x ) =1$

Заметим, что

$( \sin x + \cos x ) ^2 =1 + 2 \sin x \cos x = сильно \sin x \cos x = $\frac{1}{2}$ ( \sin x + \cos x ) ^2 - \frac{1}{2}$

Подставив в уравнение, получим

$( \sin x + \cos x ) ( 1 - ( $\frac{1}{2}$ ( \sin x + \cos x ) ^2 - $\frac{1}{2}$ ) ) = 1 = сильно ( \sin x + \cos x ) ( $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ ( \sin x + \cos x ) ^2 ) =1$ $( \sin x + \cos x ) ( 1 - ( $\frac{1}{2}$ ( \sin x + \cos x ) ^2 - $\frac{1}{2}$ ) ) = 1 = сильно$
$ = сильно ( \sin x + \cos x ) ( $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ ( \sin x + \cos x ) ^2 ) =1$

Сделав замену $t= \sin x + \cos x$ получим уравнение

$t ( 3 - t ^2 ) =2 = сильно t ^3 - 3t + 2=0 = сильно ( t - 1 ) ^2 ( t + 2 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} t=1,t= - 2. \end{array} \right.$

Таким образом, [рис.]

$\sin x + \cos x=1 = сильно \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} \cos x + \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} \sin x= \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = сильно$

$ = сильно \cos ( x - $\frac{\pi}{4}$ ) = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = сильно x - $\frac{\pi}{4}$ =\pm $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, k принадлежит Z = сильно \left[ \begin{array}{l} x=2 \pi k,x= $\frac{\pi}{2}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $ = сильно \cos ( x - $\frac{\pi}{4}$ ) = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = сильно$
$ = сильно x - $\frac{\pi}{4}$ =\pm $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, k принадлежит Z = сильно \left[ \begin{array}{l} x=2 \pi k,x= $\frac{\pi}{2}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $ = сильно \cos ( x - $\frac{\pi}{4}$ ) = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = сильно$
$ = сильно x - $\frac{\pi}{4}$ =\pm $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, k принадлежит Z = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} x=2 \pi k,x= $\frac{\pi}{2}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности. Подходит $\frac{5 \pi}{2}$

Ответ: а) $\{ 2 \pi k; $\frac{\pi}{2}$ + 2 \pi k:k принадлежит Z \}$ б) $\frac{5 \pi}{2}$

Приведем другое решение пункта а).
Преобразуем уравнение:

$\sin ^3 x + \cos ^3 x= \sin ^2 x + \cos ^2 x = сильно \sin ^3 x - \sin ^2 x + \cos ^3 - \cos ^2 x =0 = сильно$
$ = сильно \sin ^2 x ( \sin x - 1 ) + \cos ^2 x ( \cos x - 1 ) = 0$ $\sin ^3 x + \cos ^3 x= \sin ^2 x + \cos ^2 x = сильно$
$ = сильно \sin ^3 x - \sin ^2 x + \cos ^3 - \cos ^2 x =0 = сильно$
$ = сильно \sin ^2 x ( \sin x - 1 ) + \cos ^2 x ( \cos x - 1 ) = 0$

Заметим, что $\sin x - 1 меньше или = 0$ и $\cos x - 1 меньше или = 0$ при любом x, следовательно, оба слагаемых не больше 0, поэтому их сумма может быть равна 0, только если слагаемые одновременно равны 0:

$$$\begin{cases} \sin ^2 x ( \sin x - 1 ) =0 \\[6pt] \cos ^2 x ( \cos x - 1 ) =0 \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} \sin x=0 \\[6pt] \sin x=1 \end{cases}$$ совокупность выражений \cos x=0, \cos x=1 \end{array} \right. конец совокупности = сильно \left[ \begin{array}{l} x=2 \pi k,x= $\frac{\pi}{2}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$