а) Решите уравнение $1 - \cos 2 x + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin ( x - \pi ) = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - 2 \sin x$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ - \pi ; $\frac{\pi}{2}$ ]$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ - \pi ; $\frac{\pi}{2}$ ]$
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Используя нечетность \sin а и формулу приведения, получаем:
$\sin ( x - \pi ) = - \sin ( \pi - x ) = - \sin x$
Применим формулу $1 - \cos 2 x = 2 \sin ^2 x:$
$2 \sin ^2 x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin x + 2 \sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = 0 = сильно \sin x ( 2 \sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) + ( 2 \sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) = 0 = сильно$
$ = сильно ( 2 \sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) ( \sin x + 1 ) = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} \sin x = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} , \sin x = - 1 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = - $\frac{\pi}{2}$ + 2 \pi k, x = $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k , x = $\frac{3 \pi}{4}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $2 \sin ^2 x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin x + 2 \sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = 0 = сильно$
$ = сильно \sin x ( 2 \sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) + ( 2 \sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) = 0 = сильно ( 2 \sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) ( \sin x + 1 ) = 0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \sin x = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} , \sin x = - 1 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = - $\frac{\pi}{2}$ + 2 \pi k, x = $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k , x = $\frac{3 \pi}{4}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $2 \sin ^2 x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin x + 2 \sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = 0 = сильно$
$ = сильно \sin x ( 2 \sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) + ( 2 \sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) = 0 = сильно$
$ = сильно ( 2 \sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) ( \sin x + 1 ) = 0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \sin x = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} , \sin x = - 1 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = - $\frac{\pi}{2}$ + 2 \pi k, x = $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k , x = $\frac{3 \pi}{4}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$
б) Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Подходят числа $ - \frac{\pi}{2}$ $\frac{\pi}{4}$
Ответ: а) $\{ - $\frac{\pi}{2}$ + 2 \pi k; $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k; $\frac{3 \pi}{4}$ + 2 \pi k : k принадлежит Z \}$ б) $ - \frac{\pi}{2}$ $\frac{\pi}{4}$
$\sin ( x - \pi ) = - \sin ( \pi - x ) = - \sin x$
Применим формулу $1 - \cos 2 x = 2 \sin ^2 x:$
$2 \sin ^2 x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin x + 2 \sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = 0 = сильно \sin x ( 2 \sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) + ( 2 \sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) = 0 = сильно$
$ = сильно ( 2 \sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) ( \sin x + 1 ) = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} \sin x = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} , \sin x = - 1 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = - $\frac{\pi}{2}$ + 2 \pi k, x = $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k , x = $\frac{3 \pi}{4}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $2 \sin ^2 x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin x + 2 \sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = 0 = сильно$
$ = сильно \sin x ( 2 \sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) + ( 2 \sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) = 0 = сильно ( 2 \sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) ( \sin x + 1 ) = 0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \sin x = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} , \sin x = - 1 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = - $\frac{\pi}{2}$ + 2 \pi k, x = $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k , x = $\frac{3 \pi}{4}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $2 \sin ^2 x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin x + 2 \sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = 0 = сильно$
$ = сильно \sin x ( 2 \sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) + ( 2 \sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) = 0 = сильно$
$ = сильно ( 2 \sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) ( \sin x + 1 ) = 0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \sin x = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} , \sin x = - 1 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = - $\frac{\pi}{2}$ + 2 \pi k, x = $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k , x = $\frac{3 \pi}{4}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$
б) Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Подходят числа $ - \frac{\pi}{2}$ $\frac{\pi}{4}$
Ответ: а) $\{ - $\frac{\pi}{2}$ + 2 \pi k; $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k; $\frac{3 \pi}{4}$ + 2 \pi k : k принадлежит Z \}$ б) $ - \frac{\pi}{2}$ $\frac{\pi}{4}$
Правильный ответ:
а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 67297 • Задание №12
Решите неравенство: $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 в степени x плюс 1 правая круглая скобка п...
ID 70302 • Задание №17
Окружность с центром в точке C касается гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC и пересекает его катеты ...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №13 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 67377
а) Решите уравнение $9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель...
ID 67378
а) Решите уравнение: $4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 2 в степе...
ID 67379
а) Решите уравнение $27 в степени x минус 5 умножить на 9 в степени x минус 3 в степени левая ...
ID 67380
а) Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 1 правая круг...
ID 67381
а) Решите уравнение $3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: ...