a) Решите уравнение $\sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos ( $\frac{\pi}{2}$ - $\frac{x}{2}$ ) = 0$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [4π; 7π].
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [4π; 7π].
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Используя формулу приведения и формулу двойного угла, получим:
$\sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos ( $\frac{\pi}{2}$ - $\frac{x}{2}$ ) = 0 = сильно 2 \sin $\frac{x}{2}$ \cos $\frac{x}{2}$ - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin $\frac{x}{2}$ = 0 = сильно \sin $\frac{x}{2}$ ( 2 \cos $\frac{x}{2}$ - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) = 0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \sin $\frac{x}{2}$ = 0, \cos $\frac{x}{2}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{x}{2}$ = \pi k, $\frac{x}{2}$ = $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi l, $\frac{x}{2}$ = - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi m \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = 2 \pi k, x = $\frac{\pi}{2}$ + 4 \pi l, x = - $\frac{\pi}{2}$ + 4 \pi m, \end{array} \right. . k, l, m принадлежит Z$ $\sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos ( $\frac{\pi}{2}$ - $\frac{x}{2}$ ) = 0 = сильно 2 \sin $\frac{x}{2}$ \cos $\frac{x}{2}$ - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin $\frac{x}{2}$ = 0 = сильно$
$ = сильно \sin $\frac{x}{2}$ ( 2 \cos $\frac{x}{2}$ - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} \sin $\frac{x}{2}$ = 0, \cos $\frac{x}{2}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{x}{2}$ = \pi k, $\frac{x}{2}$ = $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi l, $\frac{x}{2}$ = - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi m \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = 2 \pi k, x = $\frac{\pi}{2}$ + 4 \pi l, x = - $\frac{\pi}{2}$ + 4 \pi m, \end{array} \right. . k, l, m принадлежит Z$ $\sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos ( $\frac{\pi}{2}$ - $\frac{x}{2}$ ) = 0 = сильно$
$ = сильно 2 \sin $\frac{x}{2}$ \cos $\frac{x}{2}$ - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin $\frac{x}{2}$ = 0 = сильно$
$ = сильно \sin $\frac{x}{2}$ ( 2 \cos $\frac{x}{2}$ - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} \sin $\frac{x}{2}$ = 0, \cos $\frac{x}{2}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{x}{2}$ = \pi k, $\frac{x}{2}$ = $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi l, $\frac{x}{2}$ = - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi m \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = 2 \pi k, x = $\frac{\pi}{2}$ + 4 \pi l, x = - $\frac{\pi}{2}$ + 4 \pi m, \end{array} \right. . k, l, m принадлежит Z$
б) Отберем корни при помощи двойных неравенств:
$\left[ \begin{array}{l} 4 \pi меньше или = 2 \pi k меньше или = 7 \pi , 4 \pi меньше или = $\frac{\pi}{2}$ + 4 \pi l меньше или = 7 \pi , 4 \pi меньше или = - $\frac{\pi}{2}$ + 4 \pi m меньше или = 7 \pi \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} 2 меньше или = k меньше или = $\frac{7}{2}$ , $\frac{7}{8}$ меньше или = l меньше или = $\frac{13}{8}$ , $\frac{9}{8}$ меньше или = m меньше или = $\frac{15}{8}$ \end{array} \right. . \underset k, l, m принадлежит Z \mathop = сильно \left[ \begin{array}{l} k = 2, k = 3, l = 1. \end{array} \right.$
Найденным значениям параметров соответствуют корни $4 \pi$ $6 \pi$ $\frac{9 \pi}{2}$
Ответ: а) $\{ 2 \pi k; $\frac{\pi}{2}$ + 4 \pi l; - $\frac{\pi}{2}$ + 4 \pi m : k, l, m принадлежит Z \}$ б) $4 \pi$ $6 \pi$ $\frac{9 \pi}{2}$
$\sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos ( $\frac{\pi}{2}$ - $\frac{x}{2}$ ) = 0 = сильно 2 \sin $\frac{x}{2}$ \cos $\frac{x}{2}$ - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin $\frac{x}{2}$ = 0 = сильно \sin $\frac{x}{2}$ ( 2 \cos $\frac{x}{2}$ - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) = 0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \sin $\frac{x}{2}$ = 0, \cos $\frac{x}{2}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{x}{2}$ = \pi k, $\frac{x}{2}$ = $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi l, $\frac{x}{2}$ = - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi m \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = 2 \pi k, x = $\frac{\pi}{2}$ + 4 \pi l, x = - $\frac{\pi}{2}$ + 4 \pi m, \end{array} \right. . k, l, m принадлежит Z$ $\sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos ( $\frac{\pi}{2}$ - $\frac{x}{2}$ ) = 0 = сильно 2 \sin $\frac{x}{2}$ \cos $\frac{x}{2}$ - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin $\frac{x}{2}$ = 0 = сильно$
$ = сильно \sin $\frac{x}{2}$ ( 2 \cos $\frac{x}{2}$ - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} \sin $\frac{x}{2}$ = 0, \cos $\frac{x}{2}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{x}{2}$ = \pi k, $\frac{x}{2}$ = $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi l, $\frac{x}{2}$ = - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi m \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = 2 \pi k, x = $\frac{\pi}{2}$ + 4 \pi l, x = - $\frac{\pi}{2}$ + 4 \pi m, \end{array} \right. . k, l, m принадлежит Z$ $\sin x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos ( $\frac{\pi}{2}$ - $\frac{x}{2}$ ) = 0 = сильно$
$ = сильно 2 \sin $\frac{x}{2}$ \cos $\frac{x}{2}$ - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin $\frac{x}{2}$ = 0 = сильно$
$ = сильно \sin $\frac{x}{2}$ ( 2 \cos $\frac{x}{2}$ - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} \sin $\frac{x}{2}$ = 0, \cos $\frac{x}{2}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{x}{2}$ = \pi k, $\frac{x}{2}$ = $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi l, $\frac{x}{2}$ = - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi m \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = 2 \pi k, x = $\frac{\pi}{2}$ + 4 \pi l, x = - $\frac{\pi}{2}$ + 4 \pi m, \end{array} \right. . k, l, m принадлежит Z$
б) Отберем корни при помощи двойных неравенств:
$\left[ \begin{array}{l} 4 \pi меньше или = 2 \pi k меньше или = 7 \pi , 4 \pi меньше или = $\frac{\pi}{2}$ + 4 \pi l меньше или = 7 \pi , 4 \pi меньше или = - $\frac{\pi}{2}$ + 4 \pi m меньше или = 7 \pi \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} 2 меньше или = k меньше или = $\frac{7}{2}$ , $\frac{7}{8}$ меньше или = l меньше или = $\frac{13}{8}$ , $\frac{9}{8}$ меньше или = m меньше или = $\frac{15}{8}$ \end{array} \right. . \underset k, l, m принадлежит Z \mathop = сильно \left[ \begin{array}{l} k = 2, k = 3, l = 1. \end{array} \right.$
Найденным значениям параметров соответствуют корни $4 \pi$ $6 \pi$ $\frac{9 \pi}{2}$
Ответ: а) $\{ 2 \pi k; $\frac{\pi}{2}$ + 4 \pi l; - $\frac{\pi}{2}$ + 4 \pi m : k, l, m принадлежит Z \}$ б) $4 \pi$ $6 \pi$ $\frac{9 \pi}{2}$
Правильный ответ:
а) $левая фигурная скобка 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 4 Пи l; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 4 Пи m : k, l, m принадлежит Z правая фигурная скобка$ б) $4 Пи$ $6 Пи$ $дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 68974 • Задание №15
Решите неравенство: $левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: x минус 2, знамен...
ID 70082 • Задание №17
Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке О. Радиус АО перпендикулярен радиусу ОВ, а радиус О...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №13 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 67377
а) Решите уравнение $9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель...
ID 67378
а) Решите уравнение: $4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 2 в степе...
ID 67379
а) Решите уравнение $27 в степени x минус 5 умножить на 9 в степени x минус 3 в степени левая ...
ID 67380
а) Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 1 правая круг...
ID 67381
а) Решите уравнение $3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: ...