а) Решите уравнение: $\frac{\sin 2x}{\text{tg} x} = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin в степени 4 \dfrac x}{2} - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos в степени 4 \dfrac x2 \text{tg} x$
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $[ - 3 \pi ; - $\frac{3 \pi}{2}$ ]$
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $[ - 3 \pi ; - $\frac{3 \pi}{2}$ ]$
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Заметим, что уравнение определено при $\sin x\not= 0$ и $\cos x\not= 0$ При этом условии можно приравнять числители:
$\sin 2x = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin в степени 4 $\frac{x}{2}$ - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos в степени 4 $\frac{x}{2}$ = сильно 2 \sin x \cos x= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ( \sin ^2 $\frac{x}{2}$ - \cos ^2 $\frac{x}{2}$ ) ( \sin ^2 $\frac{x}{2}$ + \cos ^2 $\frac{x}{2}$ ) = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin x \cos x = - \cos x = сильно \cos x ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin x + 1 ) =0 = сильно \sin x = - \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = сильно \left[ \begin{array}{l} x= - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, x = - $\frac{3 \pi}{4}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $\sin 2x = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin в степени 4 $\frac{x}{2}$ - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos в степени 4 $\frac{x}{2}$ = сильно$
$ = сильно 2 \sin x \cos x= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ( \sin ^2 $\frac{x}{2}$ - \cos ^2 $\frac{x}{2}$ ) ( \sin ^2 $\frac{x}{2}$ + \cos ^2 $\frac{x}{2}$ ) = сильно $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin x \cos x = - \cos x = сильно$
$ = сильно \cos x ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin x + 1 ) =0 = сильно \sin x = - \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = сильно \left[ \begin{array}{l} x= - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, x = - $\frac{3 \pi}{4}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $\sin 2x = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin в степени 4 $\frac{x}{2}$ - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos в степени 4 $\frac{x}{2}$ = сильно$
$ = сильно 2 \sin x \cos x= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ( \sin ^2 $\frac{x}{2}$ - \cos ^2 $\frac{x}{2}$ ) ( \sin ^2 $\frac{x}{2}$ + \cos ^2 $\frac{x}{2}$ ) = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin x \cos x = - \cos x = сильно \cos x ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin x + 1 ) =0 = сильно$
$ = сильно \sin x = - \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = сильно \left[ \begin{array}{l} x= - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, x = - $\frac{3 \pi}{4}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $\sin 2x = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin в степени 4 $\frac{x}{2}$ - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos в степени 4 $\frac{x}{2}$ = сильно$
$ = сильно 2 \sin x \cos x= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ( \sin ^2 $\frac{x}{2}$ - \cos ^2 $\frac{x}{2}$ ) ( \sin ^2 $\frac{x}{2}$ + \cos ^2 $\frac{x}{2}$ ) = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin x \cos x = - \cos x = сильно$
$ = сильно \cos x ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin x + 1 ) =0 = сильно$
$ = сильно \sin x = - \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = сильно \left[ \begin{array}{l} x= - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, x = - $\frac{3 \pi}{4}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$
б) Отберем корни при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). Получаем корни: $ - \frac{11 \pi}{4}$ и $ - \frac{9 \pi}{4}$
Ответ: а) $\{ - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k; - $\frac{3 \pi}{4}$ + 2 \pi k : k принадлежит Z \}$ б) $ - \frac{11 \pi}{4}$ $ - \frac{9 \pi}{4}$
$\sin 2x = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin в степени 4 $\frac{x}{2}$ - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos в степени 4 $\frac{x}{2}$ = сильно 2 \sin x \cos x= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ( \sin ^2 $\frac{x}{2}$ - \cos ^2 $\frac{x}{2}$ ) ( \sin ^2 $\frac{x}{2}$ + \cos ^2 $\frac{x}{2}$ ) = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin x \cos x = - \cos x = сильно \cos x ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin x + 1 ) =0 = сильно \sin x = - \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = сильно \left[ \begin{array}{l} x= - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, x = - $\frac{3 \pi}{4}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $\sin 2x = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin в степени 4 $\frac{x}{2}$ - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos в степени 4 $\frac{x}{2}$ = сильно$
$ = сильно 2 \sin x \cos x= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ( \sin ^2 $\frac{x}{2}$ - \cos ^2 $\frac{x}{2}$ ) ( \sin ^2 $\frac{x}{2}$ + \cos ^2 $\frac{x}{2}$ ) = сильно $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin x \cos x = - \cos x = сильно$
$ = сильно \cos x ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin x + 1 ) =0 = сильно \sin x = - \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = сильно \left[ \begin{array}{l} x= - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, x = - $\frac{3 \pi}{4}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $\sin 2x = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin в степени 4 $\frac{x}{2}$ - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos в степени 4 $\frac{x}{2}$ = сильно$
$ = сильно 2 \sin x \cos x= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ( \sin ^2 $\frac{x}{2}$ - \cos ^2 $\frac{x}{2}$ ) ( \sin ^2 $\frac{x}{2}$ + \cos ^2 $\frac{x}{2}$ ) = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin x \cos x = - \cos x = сильно \cos x ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin x + 1 ) =0 = сильно$
$ = сильно \sin x = - \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = сильно \left[ \begin{array}{l} x= - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, x = - $\frac{3 \pi}{4}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $\sin 2x = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin в степени 4 $\frac{x}{2}$ - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos в степени 4 $\frac{x}{2}$ = сильно$
$ = сильно 2 \sin x \cos x= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ( \sin ^2 $\frac{x}{2}$ - \cos ^2 $\frac{x}{2}$ ) ( \sin ^2 $\frac{x}{2}$ + \cos ^2 $\frac{x}{2}$ ) = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin x \cos x = - \cos x = сильно$
$ = сильно \cos x ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \sin x + 1 ) =0 = сильно$
$ = сильно \sin x = - \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = сильно \left[ \begin{array}{l} x= - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, x = - $\frac{3 \pi}{4}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$
б) Отберем корни при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). Получаем корни: $ - \frac{11 \pi}{4}$ и $ - \frac{9 \pi}{4}$
Ответ: а) $\{ - $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k; - $\frac{3 \pi}{4}$ + 2 \pi k : k принадлежит Z \}$ б) $ - \frac{11 \pi}{4}$ $ - \frac{9 \pi}{4}$
Правильный ответ:
а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка$ б) $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ $минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 66747 • Задание №10
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S $AD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби$...
ID 71486 • Задание №19
Дано трёхзначное число А, сумма цифр которого равна S.
а) Может ли выполняться равенство A · S = 28 000?
б)...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №13 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 67377
а) Решите уравнение $9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель...
ID 67378
а) Решите уравнение: $4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 2 в степе...
ID 67379
а) Решите уравнение $27 в степени x минус 5 умножить на 9 в степени x минус 3 в степени левая ...
ID 67380
а) Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 1 правая круг...
ID 67381
а) Решите уравнение $3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: ...