а)  Заметим, что

$x= $$\begin{cases} $\sqrt{аргумента: x ^2}$ аргумента \\[6pt] если x\geqslant0 \\[6pt] - $\sqrt{аргумента: x ^2}$ аргумента \\[6pt] если x меньше 0 \end{cases}$$$

поэтому, внося $\sin x$ под знак корня, необходимо рассмотреть два случая:

$\sin x \sqrt{аргумента: 2 \cdot $\frac{\cos x}{\sin x}$} аргумента = $$\begin{cases} $\sqrt{аргумента: 2 \sin x \cos x}$ аргумента \\[6pt] \sin x больше 0 \\[6pt] - $\sqrt{аргумента: 2 \sin x \cos x}$ аргумента \\[6pt] \sin x меньше 0 \end{cases}$$ . = $$\begin{cases} $\sqrt{аргумента: \sin 2x}$ аргумента \\[6pt] \sin x больше 0 \\[6pt] - $\sqrt{аргумента: \sin 2x}$ аргумента \\[6pt] \sin x меньше 0. \end{cases}$$$ $\sin x \sqrt{аргумента: 2 \cdot $\frac{\cos x}{\sin x}$} аргумента = $$\begin{cases} $\sqrt{аргумента: 2 \sin x \cos x}$ аргумента \\[6pt] \sin x больше 0 \\[6pt] - $\sqrt{аргумента: 2 \sin x \cos x}$ аргумента \\[6pt] \sin x меньше 0 \end{cases}$$ . =$
$= $$\begin{cases} $\sqrt{аргумента: \sin 2x}$ аргумента \\[6pt] \sin x больше 0 \\[6pt] - $\sqrt{аргумента: \sin 2x}$ аргумента \\[6pt] \sin x меньше 0. \end{cases}$$$

[рис.]
В случае $\sin x больше 0$ имеем:

$2 \sin 2x - $\sqrt{аргумента: \sin 2x}$ аргумента - 1=0 = сильно = сильно \left[ \begin{array}{l} $\sqrt{аргумента: \sin 2x}$ аргумента =1, $\sqrt{аргумента: \sin 2x}$ аргумента = - $\frac{1}{2}$ \end{array} \right. . \underset $\sqrt{аргумента: \sin 2x}$ аргумента больше 0\mathop = сильно $\sqrt{аргумента: \sin 2x}$ аргумента =1 = сильно$

$ = сильно \sin 2x=1 = сильно 2x= $\frac{\pi}{2}$ + 2 \pi k = сильно x= $\frac{\pi}{4}$ + \pi k,k принадлежит Z$

Условию $\sin x больше 0$ удовлетворяет серия $x= $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k,k принадлежит Z$
В случае $\sin x меньше 0$ имеем:

$2 \sin 2x + $\sqrt{аргумента: \sin 2x}$ аргумента - 1=0 = сильно \left[ \begin{array}{l} $\sqrt{аргумента: \sin 2x}$ аргумента = - 1, $\sqrt{аргумента: \sin 2x}$ аргумента = $\frac{1}{2}$ \end{array} \right. . \underset $\sqrt{аргумента: \sin 2x}$ аргумента больше 0\mathop = сильно $\sqrt{аргумента: \sin 2x}$ аргумента = $\frac{1}{2}$ = сильно$

$ = сильно \sin 2x= $\frac{1}{4}$ = сильно \left[ \begin{array}{l} 2x= \arcsin $\frac{1}{4}$ + 2 \pi k,2x= \pi - \arcsin $\frac{1}{4}$ + 2 \pi k \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x= $\frac{1}{2}$ \arcsin $\frac{1}{4}$ + \pi k,x= $\frac{\pi}{2}$ - $\frac{1}{2}$ \arcsin $\frac{1}{4}$ + \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $ = сильно \sin 2x= $\frac{1}{4}$ = сильно \left[ \begin{array}{l} 2x= \arcsin $\frac{1}{4}$ + 2 \pi k,2x= \pi - \arcsin $\frac{1}{4}$ + 2 \pi k \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} x= $\frac{1}{2}$ \arcsin $\frac{1}{4}$ + \pi k,x= $\frac{\pi}{2}$ - $\frac{1}{2}$ \arcsin $\frac{1}{4}$ + \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$

Условию $\sin x меньше 0$ удовлетворяют серии $x= \pi + $\frac{1}{2}$ \arcsin $\frac{1}{4}$ + 2 \pi k$ и $x= $\frac{3 \pi}{2}$ - $\frac{1}{2}$ \arcsin $\frac{1}{4}$ + 2 \pi k$ $k принадлежит Z$

б)  Отберём корни, принадлежащие отрезку $[ 0; \pi ]$ при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). Получим $\frac{\pi}{4}$

Ответ: а) $\{ $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k; \pi + $\frac{1}{2}$ \arcsin $\frac{1}{4}$ + 2 \pi k; $\frac{3 \pi}{2}$ - $\frac{1}{2}$ \arcsin $\frac{1}{4}$ + 2 \pi k : k принадлежит Z \}$ б) $\frac{\pi}{4}$