а) Решите уравнение $\sqrt{аргумента: \sin ( $\frac{\pi}{4}$ + x ) \cos ( $\frac{\pi}{4}$ - x )} аргумента \cdot \cos x= \frac{1}{2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ - $\frac{\pi}{4}$ ; \pi ]$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ - $\frac{\pi}{4}$ ; \pi ]$
💡 Пошаговый разбор и решение:
Уравнение имеет корни, только если $\cos x больше 0$ При этом условии обе части уравнения неотрицательны и можно возвести их в квадрат. Выполним преобразования:
$\sqrt{аргумента: \sin ( $\frac{\pi}{4}$ + x ) \cos ( $\frac{\pi}{4}$ - x )} аргумента \cdot \cos x= \frac{1}{2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = сильно \sin ( $\frac{\pi}{4}$ + x ) \cos ( $\frac{\pi}{4}$ - x ) \cdot \cos ^2 x= $\frac{1}{8}$ = сильно$ $\sqrt{аргумента: \sin ( $\frac{\pi}{4}$ + x ) \cos ( $\frac{\pi}{4}$ - x )} аргумента \cdot \cos x= \frac{1}{2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = сильно$
$ = сильно \sin ( $\frac{\pi}{4}$ + x ) \cos ( $\frac{\pi}{4}$ - x ) \cdot \cos ^2 x= $\frac{1}{8}$ = сильно$
$ = сильно 4 ( 1 + \sin 2x ) \cos ^2 x=1 = сильно 4 ( \sin ^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos ^2 x ) \cos ^2 x = 1 = сильно$ $ = сильно 4 ( 1 + \sin 2x ) \cos ^2 x=1 = сильно$
$ = сильно 4 ( \sin ^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos ^2 x ) \cos ^2 x = 1 = сильно$
$ = сильно 4 ( \sin x + \cos x ) ^2 \cos ^2 x = 1 = сильно ( 2 ( \sin x + \cos x ) \cos x ) ^2 = 1 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} 2 ( \sin x + \cos x ) \cos x=1,2 ( \sin x + \cos x ) \cos x = - 1 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} \sin ^2 x - 2 \sin x \cos x - \cos ^2 x =0, \sin ^2 x + 2 \sin x \cos x + 3 \cos ^2 x =0. \end{array} \right.$
[рис.]
Разделим второе уравнение совокупности на $\cos ^2 x$ получим $\text{tg} ^2 x + 2 \text{tg} x + 3 =0$ это уравнение не имеет решений. Умножим обе части первого уравнения на −1 и воспользуемся формулами двойного угла. Получим:
$\sin 2x = - \cos 2x = сильно \text{tg} 2x = - 1 = сильно 2x = - $\frac{\pi}{4}$ + \pi k = сильно x = - $\frac{\pi}{8}$ + $\frac{\pi k}{2}$ , k принадлежит Z$ $\sin 2x = - \cos 2x = сильно \text{tg} 2x = - 1 = сильно$
$ = сильно 2x = - $\frac{\pi}{4}$ + \pi k = сильно x = - $\frac{\pi}{8}$ + $\frac{\pi k}{2}$ , k принадлежит Z$
Из найденных серий условию $\cos x больше 0$ удовлетворяют только $x = - $\frac{\pi}{8}$ + 2 \pi k$ и $x = $\frac{3 \pi}{8}$ + 2 \pi k, k принадлежит Z$
Отберем корни при помощи тригонометрической окружности (см. рис.), получим числа $ - \frac{\pi}{8}$ и $\frac{3 \pi}{8}$
Ответ: а) $\{ - $\frac{\pi}{8}$ + 2 \pi k, $\frac{3 \pi}{8}$ + 2 \pi k : k принадлежит Z \}$ б) $ - \frac{\pi}{8}$ и $\frac{3 \pi}{8}$
$\sqrt{аргумента: \sin ( $\frac{\pi}{4}$ + x ) \cos ( $\frac{\pi}{4}$ - x )} аргумента \cdot \cos x= \frac{1}{2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = сильно \sin ( $\frac{\pi}{4}$ + x ) \cos ( $\frac{\pi}{4}$ - x ) \cdot \cos ^2 x= $\frac{1}{8}$ = сильно$ $\sqrt{аргумента: \sin ( $\frac{\pi}{4}$ + x ) \cos ( $\frac{\pi}{4}$ - x )} аргумента \cdot \cos x= \frac{1}{2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = сильно$
$ = сильно \sin ( $\frac{\pi}{4}$ + x ) \cos ( $\frac{\pi}{4}$ - x ) \cdot \cos ^2 x= $\frac{1}{8}$ = сильно$
$ = сильно 4 ( 1 + \sin 2x ) \cos ^2 x=1 = сильно 4 ( \sin ^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos ^2 x ) \cos ^2 x = 1 = сильно$ $ = сильно 4 ( 1 + \sin 2x ) \cos ^2 x=1 = сильно$
$ = сильно 4 ( \sin ^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos ^2 x ) \cos ^2 x = 1 = сильно$
$ = сильно 4 ( \sin x + \cos x ) ^2 \cos ^2 x = 1 = сильно ( 2 ( \sin x + \cos x ) \cos x ) ^2 = 1 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} 2 ( \sin x + \cos x ) \cos x=1,2 ( \sin x + \cos x ) \cos x = - 1 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} \sin ^2 x - 2 \sin x \cos x - \cos ^2 x =0, \sin ^2 x + 2 \sin x \cos x + 3 \cos ^2 x =0. \end{array} \right.$
[рис.]
Разделим второе уравнение совокупности на $\cos ^2 x$ получим $\text{tg} ^2 x + 2 \text{tg} x + 3 =0$ это уравнение не имеет решений. Умножим обе части первого уравнения на −1 и воспользуемся формулами двойного угла. Получим:
$\sin 2x = - \cos 2x = сильно \text{tg} 2x = - 1 = сильно 2x = - $\frac{\pi}{4}$ + \pi k = сильно x = - $\frac{\pi}{8}$ + $\frac{\pi k}{2}$ , k принадлежит Z$ $\sin 2x = - \cos 2x = сильно \text{tg} 2x = - 1 = сильно$
$ = сильно 2x = - $\frac{\pi}{4}$ + \pi k = сильно x = - $\frac{\pi}{8}$ + $\frac{\pi k}{2}$ , k принадлежит Z$
Из найденных серий условию $\cos x больше 0$ удовлетворяют только $x = - $\frac{\pi}{8}$ + 2 \pi k$ и $x = $\frac{3 \pi}{8}$ + 2 \pi k, k принадлежит Z$
Отберем корни при помощи тригонометрической окружности (см. рис.), получим числа $ - \frac{\pi}{8}$ и $\frac{3 \pi}{8}$
Ответ: а) $\{ - $\frac{\pi}{8}$ + 2 \pi k, $\frac{3 \pi}{8}$ + 2 \pi k : k принадлежит Z \}$ б) $ - \frac{\pi}{8}$ и $\frac{3 \pi}{8}$
Правильный ответ:
а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби$ и $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 67503 • Задание №13
а) Решите уравнение: $корень из 2 синус в кубе x минус корень из 2 синус x плюс косинус в квадрате x =0$
б) ...
ID 69216 • Задание №15
В выпуклом пятиугольнике ABCDE диагонали BE и CE являются биссектрисами углов при вершинах B и C соответственн...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №13 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 67377
а) Решите уравнение $9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель...
ID 67378
а) Решите уравнение: $4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 2 в степе...
ID 67379
а) Решите уравнение $27 в степени x минус 5 умножить на 9 в степени x минус 3 в степени левая ...
ID 67380
а) Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 1 правая круг...
ID 67381
а) Решите уравнение $3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: ...