а) Решите уравнение $\sqrt{аргумента: \sin x - \cos x} аргумента \cdot ( \cos x + \cos 2x ) =0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ - $\frac{\pi}{2}$ ; $\frac{\pi}{2}$ ]$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ - $\frac{\pi}{2}$ ; $\frac{\pi}{2}$ ]$
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Исходное уравнение = сильно системе:
[рис.]
$$$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} \cos x + \cos 2x=0 \\[6pt] \sin x - \cos x=0 \end{cases}$$ . \sin x - \cos x\geqslant0 \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} 2 \cos ^2 x + \cos x - 1=0 \\[6pt] \text{tg} x=1 \end{cases}$$ . $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi n меньше или = x меньше или = $\frac{5 \pi}{4}$ + 2 \pi n \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} \cos x= - 1 \\[6pt] \cos x= $\frac{1}{2}$ \\[6pt] \text{tg} x=1 \end{cases}$$ . $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi n меньше или = x меньше или = $\frac{5 \pi}{4}$ + 2 \pi n \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x= \pi + 2 \pi k \\[6pt] x=\pm $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k \\[6pt] x= $\frac{\pi}{4}$ + \pi k \end{cases}$$ . $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi n меньше или = x меньше или = $\frac{5 \pi}{4}$ + 2 \pi n \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x= $\frac{\pi}{4}$ + \pi k,x= $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k,x= \pi + 2 \pi k, \end{array} \right. . k, n принадлежит Z$ $$$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} \cos x + \cos 2x=0 \\[6pt] \sin x - \cos x=0 \end{cases}$$ . \sin x - \cos x\geqslant0 \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} 2 \cos ^2 x + \cos x - 1=0 \\[6pt] \text{tg} x=1 \end{cases}$$ . $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi n меньше или = x меньше или = $\frac{5 \pi}{4}$ + 2 \pi n \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} \cos x= - 1 \\[6pt] \cos x= $\frac{1}{2}$ \\[6pt] \text{tg} x=1 \end{cases}$$ . $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi n меньше или = x меньше или = $\frac{5 \pi}{4}$ + 2 \pi n \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x= \pi + 2 \pi k \\[6pt] x=\pm $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k \\[6pt] x= $\frac{\pi}{4}$ + \pi k \end{cases}$$ . $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi n меньше или = x меньше или = $\frac{5 \pi}{4}$ + 2 \pi n \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x= $\frac{\pi}{4}$ + \pi k,x= $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k,x= \pi + 2 \pi k, \end{array} \right. . k, n принадлежит Z$ $$$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} \cos x + \cos 2x=0 \\[6pt] \sin x - \cos x=0 \end{cases}$$ . \sin x - \cos x\geqslant0 \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} 2 \cos ^2 x + \cos x - 1=0 \\[6pt] \text{tg} x=1 \end{cases}$$ . $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi n меньше или = x меньше или = $\frac{5 \pi}{4}$ + 2 \pi n \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} \cos x= - 1 \\[6pt] \cos x= $\frac{1}{2}$ \\[6pt] \text{tg} x=1 \end{cases}$$ . $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi n меньше или = x меньше или = $\frac{5 \pi}{4}$ + 2 \pi n \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x= \pi + 2 \pi k \\[6pt] x=\pm $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k \\[6pt] x= $\frac{\pi}{4}$ + \pi k \end{cases}$$ . $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi n меньше или = x меньше или = $\frac{5 \pi}{4}$ + 2 \pi n \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} x= $\frac{\pi}{4}$ + \pi k,x= $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k,x= \pi + 2 \pi k, \end{array} \right. . k, n принадлежит Z$ $$$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} \cos x + \cos 2x=0 \\[6pt] \sin x - \cos x=0 \end{cases}$$ . \sin x - \cos x\geqslant0 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} 2 \cos ^2 x + \cos x - 1=0 \\[6pt] \text{tg} x=1 \end{cases}$$ . $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi n меньше или = x меньше или = $\frac{5 \pi}{4}$ + 2 \pi n \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} \cos x= - 1 \\[6pt] \cos x= $\frac{1}{2}$ \\[6pt] \text{tg} x=1 \end{cases}$$ . $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi n меньше или = x меньше или = $\frac{5 \pi}{4}$ + 2 \pi n \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x= \pi + 2 \pi k \\[6pt] x=\pm $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k \\[6pt] x= $\frac{\pi}{4}$ + \pi k \end{cases}$$ . $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi n меньше или = x меньше или = $\frac{5 \pi}{4}$ + 2 \pi n \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} x= $\frac{\pi}{4}$ + \pi k,x= $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k,x= \pi + 2 \pi k, \end{array} \right. . k, n принадлежит Z$
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $[ - $\frac{\pi}{2}$ ; $\frac{\pi}{2}$ ]$ при помощи единичной окружности. Подходят $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{3}$
Ответ: а) $\{ $\frac{\pi}{4}$ + \pi k; $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k; \pi + 2 \pi k:k принадлежит Z \}$ б) $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{3}$
[рис.]
$$$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} \cos x + \cos 2x=0 \\[6pt] \sin x - \cos x=0 \end{cases}$$ . \sin x - \cos x\geqslant0 \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} 2 \cos ^2 x + \cos x - 1=0 \\[6pt] \text{tg} x=1 \end{cases}$$ . $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi n меньше или = x меньше или = $\frac{5 \pi}{4}$ + 2 \pi n \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} \cos x= - 1 \\[6pt] \cos x= $\frac{1}{2}$ \\[6pt] \text{tg} x=1 \end{cases}$$ . $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi n меньше или = x меньше или = $\frac{5 \pi}{4}$ + 2 \pi n \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x= \pi + 2 \pi k \\[6pt] x=\pm $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k \\[6pt] x= $\frac{\pi}{4}$ + \pi k \end{cases}$$ . $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi n меньше или = x меньше или = $\frac{5 \pi}{4}$ + 2 \pi n \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x= $\frac{\pi}{4}$ + \pi k,x= $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k,x= \pi + 2 \pi k, \end{array} \right. . k, n принадлежит Z$ $$$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} \cos x + \cos 2x=0 \\[6pt] \sin x - \cos x=0 \end{cases}$$ . \sin x - \cos x\geqslant0 \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} 2 \cos ^2 x + \cos x - 1=0 \\[6pt] \text{tg} x=1 \end{cases}$$ . $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi n меньше или = x меньше или = $\frac{5 \pi}{4}$ + 2 \pi n \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} \cos x= - 1 \\[6pt] \cos x= $\frac{1}{2}$ \\[6pt] \text{tg} x=1 \end{cases}$$ . $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi n меньше или = x меньше или = $\frac{5 \pi}{4}$ + 2 \pi n \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x= \pi + 2 \pi k \\[6pt] x=\pm $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k \\[6pt] x= $\frac{\pi}{4}$ + \pi k \end{cases}$$ . $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi n меньше или = x меньше или = $\frac{5 \pi}{4}$ + 2 \pi n \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x= $\frac{\pi}{4}$ + \pi k,x= $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k,x= \pi + 2 \pi k, \end{array} \right. . k, n принадлежит Z$ $$$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} \cos x + \cos 2x=0 \\[6pt] \sin x - \cos x=0 \end{cases}$$ . \sin x - \cos x\geqslant0 \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} 2 \cos ^2 x + \cos x - 1=0 \\[6pt] \text{tg} x=1 \end{cases}$$ . $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi n меньше или = x меньше или = $\frac{5 \pi}{4}$ + 2 \pi n \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} \cos x= - 1 \\[6pt] \cos x= $\frac{1}{2}$ \\[6pt] \text{tg} x=1 \end{cases}$$ . $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi n меньше или = x меньше или = $\frac{5 \pi}{4}$ + 2 \pi n \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x= \pi + 2 \pi k \\[6pt] x=\pm $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k \\[6pt] x= $\frac{\pi}{4}$ + \pi k \end{cases}$$ . $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi n меньше или = x меньше или = $\frac{5 \pi}{4}$ + 2 \pi n \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} x= $\frac{\pi}{4}$ + \pi k,x= $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k,x= \pi + 2 \pi k, \end{array} \right. . k, n принадлежит Z$ $$$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} \cos x + \cos 2x=0 \\[6pt] \sin x - \cos x=0 \end{cases}$$ . \sin x - \cos x\geqslant0 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} 2 \cos ^2 x + \cos x - 1=0 \\[6pt] \text{tg} x=1 \end{cases}$$ . $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi n меньше или = x меньше или = $\frac{5 \pi}{4}$ + 2 \pi n \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} \cos x= - 1 \\[6pt] \cos x= $\frac{1}{2}$ \\[6pt] \text{tg} x=1 \end{cases}$$ . $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi n меньше или = x меньше или = $\frac{5 \pi}{4}$ + 2 \pi n \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x= \pi + 2 \pi k \\[6pt] x=\pm $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k \\[6pt] x= $\frac{\pi}{4}$ + \pi k \end{cases}$$ . $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi n меньше или = x меньше или = $\frac{5 \pi}{4}$ + 2 \pi n \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} x= $\frac{\pi}{4}$ + \pi k,x= $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k,x= \pi + 2 \pi k, \end{array} \right. . k, n принадлежит Z$
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $[ - $\frac{\pi}{2}$ ; $\frac{\pi}{2}$ ]$ при помощи единичной окружности. Подходят $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{3}$
Ответ: а) $\{ $\frac{\pi}{4}$ + \pi k; $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi k; \pi + 2 \pi k:k принадлежит Z \}$ б) $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{3}$
Правильный ответ:
а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; Пи плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 71834 • Задание №19
В школе перед началом учебного года было сформировано несколько одиннадцатых классов, в каждом из которых коли...
ID 68303 • Задание №14
В правильном тетраэдре ABCD точка K — центр грани ABD, точка M — центр грани ACD.
а) Докажите, что прямые B...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №13 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 67377
а) Решите уравнение $9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель...
ID 67378
а) Решите уравнение: $4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 2 в степе...
ID 67379
а) Решите уравнение $27 в степени x минус 5 умножить на 9 в степени x минус 3 в степени левая ...
ID 67380
а) Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 1 правая круг...
ID 67381
а) Решите уравнение $3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: ...