В школе перед началом учебного года было сформировано несколько одиннадцатых классов, в каждом из которых количество мальчиков относилось к количеству девочек как 7 : 2 или как 2 : 7. После этого в параллель одиннадцатых классов школы приняли ещё четырёх мальчиков и трех девочек.
а) Удастся ли теперь разбить всех одиннадцатиклассников на классы так, чтобы в каждом классе отношение количества мальчиков к количеству девочек было 5 : 4 или 4 : 5?
б) Всех одиннадцатиклассников удалось разбить на классы так, чтобы в каждом классе отношение количества мальчиков к количеству девочек было 7 : 3 или 3 : 7. Могло ли при этом получиться ровно семь классов?
в) Всех одиннадцатиклассников удалось разбить на классы так, чтобы в каждом классе отношение количества мальчиков к количеству девочек было 7 : 3 или 3 : 7. Было решено отправить всех одиннадцатиклассников на экскурсию группами по 90 человек, при этом одна из групп оказалась неполной. Сколько в этой группе было одиннадцатиклассников?
а) Удастся ли теперь разбить всех одиннадцатиклассников на классы так, чтобы в каждом классе отношение количества мальчиков к количеству девочек было 5 : 4 или 4 : 5?
б) Всех одиннадцатиклассников удалось разбить на классы так, чтобы в каждом классе отношение количества мальчиков к количеству девочек было 7 : 3 или 3 : 7. Могло ли при этом получиться ровно семь классов?
в) Всех одиннадцатиклассников удалось разбить на классы так, чтобы в каждом классе отношение количества мальчиков к количеству девочек было 7 : 3 или 3 : 7. Было решено отправить всех одиннадцатиклассников на экскурсию группами по 90 человек, при этом одна из групп оказалась неполной. Сколько в этой группе было одиннадцатиклассников?
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Если в классе 7x мальчиков и 2x девочек (или наоборот), то $x = 7x - 3 \cdot 2x$ есть целое число, и общее количество людей в классе 9x кратно 9. Аналогичное верно и для соотношения 4 : 5. Значит, общее число одиннадцатиклассников было кратно 9 и до, и после прибавления 7 человек, что невозможно.
б) Да. Пусть было 4 класса по 7 девочек и 2 мальчика, в каждый их которых добавили по мальчику, и 3 класса по 7 мальчиков и 2 девочки, в каждый их которых добавили по девочке. Тогда все условия выполнены.
в) По доказанному в пункте а) количество одиннадцатиклассников кратно 10 и было кратно 9 до прибавления семерых учеников. Пусть было n человек, тогда n кратно 9 и n + 7 кратно 10. Тогда n – 63 кратно 9 и $n + 7 - 70 = n - 63$ кратно 10. Итак, n – 63 кратно и 9, и 10, а потому кратно 90. Значит, n при делении на 90 дает остаток 63, а n + 7 — остаток 70.
Ответ: а) нет, б) да, в) 70.
б) Да. Пусть было 4 класса по 7 девочек и 2 мальчика, в каждый их которых добавили по мальчику, и 3 класса по 7 мальчиков и 2 девочки, в каждый их которых добавили по девочке. Тогда все условия выполнены.
в) По доказанному в пункте а) количество одиннадцатиклассников кратно 10 и было кратно 9 до прибавления семерых учеников. Пусть было n человек, тогда n кратно 9 и n + 7 кратно 10. Тогда n – 63 кратно 9 и $n + 7 - 70 = n - 63$ кратно 10. Итак, n – 63 кратно и 9, и 10, а потому кратно 90. Значит, n при делении на 90 дает остаток 63, а n + 7 — остаток 70.
Ответ: а) нет, б) да, в) 70.
Правильный ответ:
а) нет, б) да, в) 70
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 64816 • Задание №3
[рис.] В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра которой равны 5, найдите угол между пря...
ID 67205 • Задание №12
Решите неравенство $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 8x плюс 6 правая круглая с...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...