а) Решите уравнение $\sqrt{аргумента: 1 - \sin $\frac{x}{2}$ \cdot \cos $\frac{x}{2}$} аргумента = \sin ( $\frac{5 \pi}{2}$ + x )$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ - 4 \pi ; - $\frac{5 \pi}{2}$ ]$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ - 4 \pi ; - $\frac{5 \pi}{2}$ ]$
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) По формулам приведения $\sin ( $\frac{5 \pi}{2}$ + x ) = \cos x$ откуда находим:
$\sqrt{аргумента: 1 - $\frac{1}{2}$ \sin x} аргумента = \cos x = сильно $$\begin{cases} \cos x больше или = 0 \\[6pt] 1 - $\frac{1}{2}$ \sin x = \cos ^2 x \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \cos x больше или = 0 \\[6pt] 2 - \sin x = 2 - 2 \sin ^2 x \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \cos x больше или = 0 \\[6pt] 2 \sin ^2 x - \sin x = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \cos x больше или = 0 \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0 \\[6pt] \sin x = $\frac{1}{2}$ \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \cos x больше или = 0 \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} x = \pi k \\[6pt] x = $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi m \\[6pt] x = $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi n \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = 2 \pi k, x = $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi m, \end{array} \right. . k, m принадлежит Z$ $\sqrt{аргумента: 1 - $\frac{1}{2}$ \sin x} аргумента = \cos x = сильно $$\begin{cases} \cos x больше или = 0 \\[6pt] 1 - $\frac{1}{2}$ \sin x = \cos ^2 x \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \cos x больше или = 0 \\[6pt] 2 - \sin x = 2 - 2 \sin ^2 x \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \cos x больше или = 0 \\[6pt] 2 \sin ^2 x - \sin x = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \cos x больше или = 0 \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0 \\[6pt] \sin x = $\frac{1}{2}$ \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \cos x больше или = 0 \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} x = \pi k \\[6pt] x = $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi m \\[6pt] x = $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi n \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = 2 \pi k, x = $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi m, \end{array} \right. . k, m принадлежит Z$ $\sqrt{аргумента: 1 - $\frac{1}{2}$ \sin x} аргумента = \cos x = сильно $$\begin{cases} \cos x больше или = 0 \\[6pt] 1 - $\frac{1}{2}$ \sin x = \cos ^2 x \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \cos x больше или = 0 \\[6pt] 2 - \sin x = 2 - 2 \sin ^2 x \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \cos x больше или = 0 \\[6pt] 2 \sin ^2 x - \sin x = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \cos x больше или = 0 \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0 \\[6pt] \sin x = $\frac{1}{2}$ \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \cos x больше или = 0 \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} x = \pi k \\[6pt] x = $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi m \\[6pt] x = $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi n \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = 2 \pi k, x = $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi m, \end{array} \right. . k, m принадлежит Z$
б) Отберем корни при помощи двойных неравенств. Для первой серии корней получаем:
$ - 4 \pi меньше или = 2 \pi k меньше или = - $\frac{5 \pi}{2}$ = сильно - 2 меньше или = k меньше или = - $\frac{5}{4}$ \underset k принадлежит Z \mathop = сильно k = - 2$
Найденному значению k соответствует корень $ - 4 \pi$ Рассмотрим вторую серию корней:
$ - 4 \pi меньше или = $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi m меньше или = - $\frac{5 \pi}{2}$ = сильно - целая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 12 меньше или = m меньше или = - $\frac{4}{3}$ \underset m принадлежит Z \mathop = сильно m = - 2$
Найденному значению m соответствует корень $ - \frac{23 \pi}{6}$
Ответ: а) $\{ $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi m ; 2 \pi k : k, m принадлежит Z \}$ б) $ - 4 \pi$ $ - \frac{23 \pi}{6}$
$\sqrt{аргумента: 1 - $\frac{1}{2}$ \sin x} аргумента = \cos x = сильно $$\begin{cases} \cos x больше или = 0 \\[6pt] 1 - $\frac{1}{2}$ \sin x = \cos ^2 x \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \cos x больше или = 0 \\[6pt] 2 - \sin x = 2 - 2 \sin ^2 x \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \cos x больше или = 0 \\[6pt] 2 \sin ^2 x - \sin x = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \cos x больше или = 0 \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0 \\[6pt] \sin x = $\frac{1}{2}$ \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \cos x больше или = 0 \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} x = \pi k \\[6pt] x = $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi m \\[6pt] x = $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi n \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = 2 \pi k, x = $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi m, \end{array} \right. . k, m принадлежит Z$ $\sqrt{аргумента: 1 - $\frac{1}{2}$ \sin x} аргумента = \cos x = сильно $$\begin{cases} \cos x больше или = 0 \\[6pt] 1 - $\frac{1}{2}$ \sin x = \cos ^2 x \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \cos x больше или = 0 \\[6pt] 2 - \sin x = 2 - 2 \sin ^2 x \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \cos x больше или = 0 \\[6pt] 2 \sin ^2 x - \sin x = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \cos x больше или = 0 \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0 \\[6pt] \sin x = $\frac{1}{2}$ \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \cos x больше или = 0 \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} x = \pi k \\[6pt] x = $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi m \\[6pt] x = $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi n \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = 2 \pi k, x = $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi m, \end{array} \right. . k, m принадлежит Z$ $\sqrt{аргумента: 1 - $\frac{1}{2}$ \sin x} аргумента = \cos x = сильно $$\begin{cases} \cos x больше или = 0 \\[6pt] 1 - $\frac{1}{2}$ \sin x = \cos ^2 x \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \cos x больше или = 0 \\[6pt] 2 - \sin x = 2 - 2 \sin ^2 x \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \cos x больше или = 0 \\[6pt] 2 \sin ^2 x - \sin x = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \cos x больше или = 0 \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0 \\[6pt] \sin x = $\frac{1}{2}$ \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \cos x больше или = 0 \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} x = \pi k \\[6pt] x = $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi m \\[6pt] x = $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi n \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = 2 \pi k, x = $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi m, \end{array} \right. . k, m принадлежит Z$
б) Отберем корни при помощи двойных неравенств. Для первой серии корней получаем:
$ - 4 \pi меньше или = 2 \pi k меньше или = - $\frac{5 \pi}{2}$ = сильно - 2 меньше или = k меньше или = - $\frac{5}{4}$ \underset k принадлежит Z \mathop = сильно k = - 2$
Найденному значению k соответствует корень $ - 4 \pi$ Рассмотрим вторую серию корней:
$ - 4 \pi меньше или = $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi m меньше или = - $\frac{5 \pi}{2}$ = сильно - целая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 12 меньше или = m меньше или = - $\frac{4}{3}$ \underset m принадлежит Z \mathop = сильно m = - 2$
Найденному значению m соответствует корень $ - \frac{23 \pi}{6}$
Ответ: а) $\{ $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi m ; 2 \pi k : k, m принадлежит Z \}$ б) $ - 4 \pi$ $ - \frac{23 \pi}{6}$
Правильный ответ:
а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m ; 2 Пи k : k, m принадлежит Z правая фигурная скобка$ б) $минус 4 Пи$ $минус дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 6 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 71107 • Задание №18
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$5 x плюс дробь: числитель: 2, знаменатель:...
ID 67319 • Задание №12
Решите неравенство: $корень из: начало аргумента: логарифм по основанию 9 левая круглая скобка 3x в квадрате м...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №13 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 67377
а) Решите уравнение $9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель...
ID 67378
а) Решите уравнение: $4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 2 в степе...
ID 67379
а) Решите уравнение $27 в степени x минус 5 умножить на 9 в степени x минус 3 в степени левая ...
ID 67380
а) Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 1 правая круг...
ID 67381
а) Решите уравнение $3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: ...