Рассмотрим первое неравенство системы:

$\frac{4 в степени ( x ) + 5}{2 в степени ( x ) - 11} больше или = - 1 = сильно $\frac{2 в степени ( 2x ) + 5}{2 в степени ( x ) - 11}$ + 1 больше или = 0 = сильно $\frac{2 в степени ( 2x ) + 5 + 2 в степени ( x ) - 11}{2 в степени ( x ) - 11}$ больше или = 0 = сильно$

$ = сильно $\frac{2 в степени ( 2x ) + 2 в степени ( x ) - 6}{2 в степени ( x ) - 11}$ больше или = 0 = сильно $\frac{( 2 в степени ( x ) - 2 ) \cdot ( 2 в степени ( x ) + 3 )}{2 в степени ( x ) - 2 в степени ( \log ) _211}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{2 в степени ( x ) - 2}{2 в степени ( x ) - 2 в степени ( \log ) _211}$ больше или = 0 = сильно $\frac{x - 1}{x - \log _211}$ больше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x меньше или = 1, новая строка x больше \log _211 \end{array} \right.$ $ = сильно $\frac{2 в степени ( 2x ) + 2 в степени ( x ) - 6}{2 в степени ( x ) - 11}$ больше или = 0 = сильно $\frac{( 2 в степени ( x ) - 2 ) \cdot ( 2 в степени ( x ) + 3 )}{2 в степени ( x ) - 2 в степени ( \log ) _211}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{2 в степени ( x ) - 2}{2 в степени ( x ) - 2 в степени ( \log ) _211}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{x - 1}{x - \log _211}$ больше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x меньше или = 1, новая строка x больше \log _211 \end{array} \right.$

Решения первого неравенства системы: $( - бесконечность ;1 ] \cup ( \log _211; + бесконечность )$
Решим второе неравенство системы. Найдем ограничения на $x:$

$$$\begin{cases} новая строка x не = 0 \\[6pt] 5 \\[6pt] новая строка 4 $\sqrt{аргумента: x}$ аргумента не = 1 \\[6pt] новая строка x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x не = 0 \\[6pt] 5 \\[6pt] новая строка $\sqrt{аргумента: x}$ аргумента не = 0 \\[6pt] 25 \\[6pt] новая строка x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка x не = 0 \\[6pt] 5 \\[6pt] новая строка x не = $\frac{1}{16}$ \\[6pt] новая строка x больше 0. \end{cases}$$$

Таким образом, искомые значения x могут принадлежать только множеству $( 0; $\frac{1}{16}$ ) \cup ( $\frac{1}{16}$ ; $\frac{1}{2}$ ) \cup ( $\frac{1}{2}$ ; + бесконечность )$ На этом множестве будем иметь:

$\frac{6\log _2x}{\log _2 ( 2x )} + \frac{2\log _2 ( 2x )}{\log _2 ( 4 $\sqrt{аргумента: x}$ аргумента )} - 1 больше или = 0 = сильно $\frac{6\log _2x}{\log _2x + 1}$ + \frac{2 ( \log _2x + 1 )}{$\frac{1,}{2}$ \log _2x + 2} - 1 больше или = 0 = сильно$

$ = сильно $\frac{6\log _2x}{\log _2x + 1}$ + $\frac{4\log _2x + 4}{\log _2x + 4}$ - 1 больше или = 0$

Пусть $\log _2x=t$ Тогда:

$\frac{6t}{t + 1} + $\frac{4t + 4}{t + 4}$ - 1 больше или = 0 = сильно $\frac{6t ^2 + 24t + 4t ^2 + 4t + 4t + 4 - t ^2 - 5t - 4}{( t + 1 ) \cdot ( t + 4 )}$ больше или = 0 = сильно$ $\frac{6t}{t + 1} + $\frac{4t + 4}{t + 4}$ - 1 больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{6t ^2 + 24t + 4t ^2 + 4t + 4t + 4 - t ^2 - 5t - 4}{( t + 1 ) \cdot ( t + 4 )}$ больше или = 0 = сильно$

$ = сильно $\frac{9t ^2 + 27t}{( t + 1 ) \cdot ( t + 4 )}$ больше или = 0 = сильно $\frac{t ( t + 3 )}{( t + 1 ) \cdot ( t + 4 )}$ больше или = 0$

Решим последнее неравенство методом интервалов.
Получили: $t меньше - 4$ $ - 3 меньше или = t меньше - 1$ $t больше или = 0$ То есть:

$\log _2x меньше - 4 = сильно x меньше $\frac{1}{16}$ ; - 3 меньше или = \log _2x меньше - 1 = сильно $\frac{1}{8}$ меньше или = x меньше $\frac{1}{2}$ ;\log _2x больше или = 0 = сильно x больше или = 1$ $\log _2x меньше - 4 = сильно x меньше $\frac{1}{16}$ ; - 3 меньше или = \log _2x меньше - 1 = сильно$
$ = сильно $\frac{1}{8}$ меньше или = x меньше $\frac{1}{2}$ ;\log _2x больше или = 0 = сильно x больше или = 1$

Решения второго неравенства с учетом ограничений на $x:$ $( 0; $\frac{1}{16}$ ) \cup [ $\frac{1}{8}$ ; $\frac{1}{2}$ ) \cup [ 1; + бесконечность )$ Пересечение решений обоих неравенств системы: $( 0; $\frac{1}{16}$ ) \cup [ $\frac{1}{8}$ ; $\frac{1}{2}$ ) \cup \{ 1 \} \cup ( \log _211; + бесконечность )$

Ответ: $( 0; $\frac{1}{16}$ ) \cup [ $\frac{1}{8}$ ; $\frac{1}{2}$ ) \cup \{ 1 \} \cup ( \log _211; + бесконечность )$