Рассмотрим первое неравенство системы:

$3 в степени ( x ) - 3 в степени ( $\frac{1}{2}$ - x ) больше $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 1 = сильно 3 в степени ( x ) - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3 в степени ( x )} - ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 1 ) больше 0 = сильно$
$ = сильно 3 в степени ( 2x ) - ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 1 ) \cdot 3 в степени ( x ) + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot ( - 1 ) больше 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} 3 в степени ( x ) меньше - 1 3 в степени ( x ) больше $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \end{array} \right.$

Неравенство $3 в степени ( x ) меньше - 1$ решений не имеет. $3 в степени ( x ) больше $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = сильно 3 в степени ( x ) больше 3 в степени ( $\frac{1}{2}$ ) = сильно x больше \frac{1}{2}$
Итак, решения первого неравенства системы есть множество $( $\frac{1}{2}$ ; + бесконечность )$
Теперь рассмотрим второе неравенство системы. Найдем ограничения на $x:$ $$$\begin{cases} x больше 0 x не = 1 \end{cases}$$$ Для таких $x:$

$\frac{\log _ $\frac{1}{3}$ ( $\frac{1}{x в степени ( 7 )}$ ) + 2,}{\log _9x в степени ( 6 )} больше или = $\frac{5}{\log _x3}$ + 2 = сильно $\frac{7\log _3x + 2}{3\log _3x}$ - 5\log _3x - 2 больше или = 0 = сильно$

$ = сильно \frac{7\log _3x + 2 - 15 \log_{левая} круглая скобка 3 ) ^2 - 6\log _3x}{\log _3x} больше или = 0 = сильно \frac{15 \log_{левая} круглая скобка 3 ) ^2 - \log _3x - 2}{\log _3x} меньше или = 0$

Пусть $\log _3x=t$ тогда: $\frac{15t ^2 - t - 2}{t} меньше или = 0$ Найдем корни квадратного трехчлена $15t ^2 - t - 2. t_1,2= \frac{1\pm $\sqrt{аргумента: 1 + 120}$ аргумента}{30} = $\frac{1\pm 11}{30}$ , t= - \frac{1}{3}$ или $t= \frac{2}{5}$
Неравенство $\frac{( t + $\frac{1}{3}$ ) \cdot ( t - $\frac{2}{5}$ ) ,}{t} меньше или = 0$ будем решать методом интервалов.

[рис.]

Итак: $t меньше или = - \frac{1}{3}$ или $0 меньше t меньше или = \frac{2}{5}$ Перейдем к переменной $x:$
$\log _3x меньше или = - $\frac{1}{3}$ = сильно 0 меньше x меньше или = $\frac{1}{корень 3 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента}$ . 0 меньше \log _3x меньше или = $\frac{2}{5}$ = сильно$
$ = сильно \log _31 меньше \log _3x меньше или = \log _33 в степени ( $\frac{2}{5}$ ) = сильно 1 меньше x меньше или = 3 в степени ( $\frac{2}{5}$ ) = сильно 1 меньше x меньше или = корень 5 степени из: начало аргумента: 9 конец аргумента$ $\log _3x меньше или = - $\frac{1}{3}$ = сильно 0 меньше x меньше или = $\frac{1}{корень 3 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента}$ . 0 меньше \log _3x меньше или = $\frac{2}{5}$ = сильно$
$ = сильно \log _31 меньше \log _3x меньше или = \log _33 в степени ( $\frac{2}{5}$ ) = сильно$
$ = сильно 1 меньше x меньше или = 3 в степени ( $\frac{2}{5}$ ) = сильно 1 меньше x меньше или = корень 5 степени из: начало аргумента: 9 конец аргумента$
Прежде чем пересечь решений обоих неравенств, сравним числа: $\frac{1}{2} и \frac{1}{корень 3 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента}$ докажем, что $\frac{1}{2} меньше \frac{1}{корень 3 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента}$

$\frac{1}{2} меньше $\frac{1}{корень 3 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента}$ = сильно корень 3 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента меньше 2 = сильно 3 меньше 8$ (неравенство очевидное).

Пересечением решений обоих неравенств системы является множество $( $\frac{1}{2}$ ; $\frac{1}{корень 3 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента}$ ] \cup ( 1; корень 5 степени из: начало аргумента: 9 конец аргумента ]$

Ответ: $( $\frac{1}{2}$ ; $\frac{1}{корень 3 степени из: начало аргумента: 3 конец аргумента}$ ] \cup ( 1; корень 5 степени из: начало аргумента: 9 конец аргумента ]$