Рассмотрим первое неравенство системы. Очевидно, что $x не = 0$ Для таких x:

$\frac{3 \cdot 2 в степени ( 1 - x ) + 1}{2 в степени ( x ) - 1} больше или = $\frac{1}{1 - 2 в степени ( - x )}$ = сильно \frac{$\frac{6 + 2 в степени ( x )}{2 в степени ( x )}$ ,}{2 в степени ( x ) - 1} - \frac{1}{$\frac{2 в степени ( x ) - 1,}{2 в степени ( x )}$} больше или = 0 = сильно $\frac{6 + 2 в степени ( x )}{2 в степени ( x ) ( 2 в степени ( x ) - 1 )}$ - $\frac{2 в степени ( x )}{2 в степени ( x ) - 1}$ больше или = 0$ $\frac{3 \cdot 2 в степени ( 1 - x ) + 1}{2 в степени ( x ) - 1} больше или = $\frac{1}{1 - 2 в степени ( - x )}$ = сильно \frac{$\frac{6 + 2 в степени ( x )}{2 в степени ( x )}$ ,}{2 в степени ( x ) - 1} - \frac{1}{$\frac{2 в степени ( x ) - 1,}{2 в степени ( x )}$} больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{6 + 2 в степени ( x )}{2 в степени ( x ) ( 2 в степени ( x ) - 1 )}$ - $\frac{2 в степени ( x )}{2 в степени ( x ) - 1}$ больше или = 0$

Пусть $2 в степени ( x ) =t, t больше 0$ Тогда: $\frac{6 + t}{t \cdot ( t - 1 )} - $\frac{t}{t - 1}$ больше или = 0 = сильно $\frac{6 + t - t ^2}{t \cdot ( t - 1 )}$ больше или = 0 = сильно $\frac{t ^2 - t - 6}{t \cdot ( t - 1 )}$ меньше или = 0 = сильно $\frac{( t + 2 ) \cdot ( t - 3 )}{t \cdot ( t - 1 )}$ меньше или = 0$
Поскольку $t больше 0$ то $\frac{t - 3}{t - 1} меньше или = 0 = сильно 1 меньше t меньше или = 3$
Возвращаясь к переменной x, будем иметь: $1 меньше 2 в степени ( x ) меньше или = 3 = сильно 2 в степени ( 0 ) меньше 2 в степени ( x ) меньше или = 2 в степени ( \log ) _23 = сильно = сильно 0 меньше x меньше или = \log _23$
Таким образом, решения первого неравенства системы есть множество $( 0;\log _23 ]$
Решим второе неравенство системы методом рационализации.
Найдем ограничения на $x:$

$$$\begin{cases} новая строка 5x - 4x ^2 больше 0 \\[6pt] новая строка 5x - 4x ^2 не = 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 4x ^2 - 5x меньше 0 \\[6pt] новая строка 4x ^2 - 5x + 1 не = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 4x \cdot ( x - $\frac{5}{4}$ ) меньше 0 \\[6pt] новая строка x не = \frac{5\pm $\sqrt{аргумента: 25 - 16}$ аргумента}{8} \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 0 меньше x меньше $\frac{5}{4}$ \\[6pt] новая строка x не = 1 \\[6pt] новая строка x не = $\frac{1}{4}$ . \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} новая строка 5x - 4x ^2 больше 0 \\[6pt] новая строка 5x - 4x ^2 не = 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 4x ^2 - 5x меньше 0 \\[6pt] новая строка 4x ^2 - 5x + 1 не = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка 4x \cdot ( x - $\frac{5}{4}$ ) меньше 0 \\[6pt] новая строка x не = \frac{5\pm $\sqrt{аргумента: 25 - 16}$ аргумента}{8} \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 0 меньше x меньше $\frac{5}{4}$ \\[6pt] новая строка x не = 1 \\[6pt] новая строка x не = $\frac{1}{4}$ . \end{cases}$$$

Для таких $x:$

$( 5x - 4x ^2 - 1 ) \cdot ( 4 в степени ( - x ) - 1 ) больше 0 = сильно ( 4x ^2 - 5x + 1 ) \cdot x больше 0$

Корни квадратного трехчлена $4x ^2 - 5x + 1$ были найдены ранее. Далее будем иметь: $( x - $\frac{1}{4}$ ) \cdot ( x - 1 ) \cdot x больше 0$
Поскольку $x больше 0$ то:

$( x - $\frac{1}{4}$ ) \cdot ( x - 1 ) \cdot больше 0;0 меньше x меньше $\frac{1}{4}$ ;x больше 1$

С учетом ограничений на $x:$ $0 меньше x меньше $\frac{1}{4}$ , 1 меньше x меньше \frac{5}{4}$
Итак, решением второго неравенства системы будет множество $( 0; $\frac{1}{4}$ ) \cup ( 1; $\frac{5}{4}$ )$
Для получения пересечения обоих неравенств сравним $\log _23$ и $\frac{5}{4}$ Докажем, что $\log _23 больше \frac{5}{4}$ Действительно, $\log _23 больше $\frac{5}{4}$ = сильно 4\log _23 больше 5 = сильно \log _281 больше \log _232 = сильно 81 больше 32$ (неравенство очевидное).
Пресечением решений обоих неравенств системы является множество $( 0; $\frac{1}{4}$ ) \cup ( 1; $\frac{5}{4}$ )$

Ответ: $( 0; $\frac{1}{4}$ ) \cup ( 1; $\frac{5}{4}$ )$