а)  Достроим треугольник ABC до параллелограмма ALBC, тогда M − точка пересечения его диагоналей.
$\angle LAC =180 ^{\circ} - \angle ACB=\angle KCD$ AL = BC = KC . AC = CD.
Тогда треугольники LAC и KCD равны по двум сторонам и углу между ними. Откуда LC = KD, а $CM= $\frac{1}{2}$ LC= $\frac{1}{2}$ KD$ что и требовалось доказать.

[рис.]
Рис. 1

[рис.]
Рис. 2

б)  Пусть O1  — центр квадрата CKFB. Тогда MO1  — средняя линия треугольника AKB. Найдем теперь AK по теореме \cos ов из треугольника ACK.

$AK ^2 =AC ^2 + CK ^2 - 2AC \cdot CK \cdot \cos \angle ACK=$
$=AC ^2 + BC ^2 - 2AC \cdot BC \cdot \cos ( \angle ACB + \angle BCK ) =$
$=AC ^2 + BC ^2 - 2AC \cdot BC \cdot \cos ( 120 ^{\circ} ) =$
$=100 + 1024 + 320=1444=38 ^2$

откуда $MO_1= $\frac{1}{2}$ \cdot 38=19$

Очевидно, расстояние до другого центра сведется к нахождению DB, которое будет таким же.

Ответ: 19.