[рис.] а)  В четырёхугольнике AC1HB1 углы C1 и B1  — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH  — её диаметр (вписанные прямые углы опираются на диаметр). Вписанные углы AC1B1 и AHB1 опираются на одну дугу, следовательно, ∠AHB1 = ∠AC1B1.
Углы BC1C и BB1C  — прямые, значит, точки B, C, B1 и C1 лежат на окружности с диаметром BC. Следовательно,

$\angle AC_1B_1=180 ^{\circ} - \angle BC_1B_1=\angle BCB_1$

Получаем, что ∠ACB = ∠AHB1.
б)  В треугольнике AB1C1 диаметр описанной окружности AH  =  4, откуда

$B_1C_1=AH \cdot \sin \angle BAC=AH \cdot \sin 60 ^{\circ}=2 \sqrt{3}$

В прямоугольном треугольнике BB1A имеем:

$AB_1=AB \cos \angle BAB_1=AB \cos 60 ^{\circ}= $\frac{1}{2}$ AB$

В прямоугольном треугольнике CC1A имеем:

$AC_1=AC \cos \angle CAC_1=AC \cdot \cos 60 ^{\circ}= $\frac{1}{2}$ AC$

Получаем, что $\frac{AB}{AB_1} = \frac{AC}{AC_1}$ Треугольники ABC и AB1C1 имеют общий угол A и $\frac{AB}{AB_1} = \frac{AC}{AC_1}$ следовательно, они подобны. Тогда $\frac{BC}{B_1C_1} = $\frac{AC}{AC_1}$ =2$ Значит,

$BC=2B_1C_1=4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Ответ: $4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Приведем решение пункта б) Тофига Алиева.
В четырёхугольнике AC1HB1 углы C1 и B1  — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH  — её диаметр. Эта окружность описана также вокруг треугольника C1AB1, тогда по теореме \sin ов $\frac{B_1C_1}{\sin \angle A} =2R=AH$ откуда $B_1C_1=AH \sin \angle A = 4 \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} =2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
Как доказано в основном решении, треугольники C1AB1 и ABC подобны с коэффициентом подобия cos ∠A, тогда

$BC= $\frac{B_1C_1}{\cos \angle A}$ = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{$\frac{1,}{2}$} =4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Приведем решение пункта б) Юлии Ерохиной.
[рис.]
6)  В треугольнике AB1C1 диаметр описанной окружности AH  =  4, откуда

$B_1C_1=AH \cdot \sin \angle BAC=AH \cdot \sin 60 ^{\circ}=2 \sqrt{3}$

По доказанному в пункте а) четырехугольник B1C1BC вписан в окружность с диаметром BC. В эту же окружность вписан треугольник B1C1B, тогда по теореме \sin ов

$\frac{B_1C1}{\sin \angle C_1BB_1} =BC$

Найдем угол C1BB1 из прямоугольного треугольника ABB1:

$\angle ABB_1=90 ^{\circ} - \angle BAB_1=90 ^{\circ} - 60 ^{\circ}=30 ^{\circ}$

тогда:

$BC= \frac{B_1C_1}{\sin 30 ^{\circ}} = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{$\frac{1,}{2}$} =4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

[рис.] Примечание Дмитрия Гущина.
Укажем другое решение.
а)  Поскольку AA1  — перпендикуляр к ВС, а BB1  — перпендикуляр к AС (см. рис.), углы AHB1 и ACB равны как острые углы со взаимно перпендикулярными сторонами.
б)  Сторона треугольника, величина противолежащего ей угла и отрезок высоты, проведённой из вершины этого угла в точку пересечения высот треугольника, связаны соотношением: $BC = AH \text{tg} A$ откуда $BC = 4 \text{tg} 60 ^{\circ} = 4 \sqrt{3}$

Примечание.
Полезно будет сравнить эту задачу с заданием 519475 из экзаменационного варианта ЕГЭ 2014 года, заданием 519475 из ЕГЭ−2018, заданием 526342 из ЕГЭ−2019, заданием 656585 из ЕГЭ−2024.