[рис.] а)  Пусть P  — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую AB, тогда DH  =  DP. В = бедренном треугольнике EAD угол AED  равен 30°. В прямоугольном треугольнике EPD находим $DP= $\frac{1}{2}$ DE$ откуда получаем, что FH  =  2DH.
б)  Пусть AM  — высота треугольника ABC  — пересекает ED в точке N. Тогда

$AM=AB \cdot \sin \angleABC=2, BC=2AB \cdot \cos \angleABC=4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Пусть DH  =  EF  =  x, тогда FH  =  ED  =  2x. Треугольники ABC и AED подобны, следовательно,

$\frac{AN}{AM} = $\frac{ED}{BC}$ = сильно $\frac{2 - x}{2}$ = \frac{2x}{4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = сильно x= \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{1 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = сильно x=3 - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Значит, площадь прямоугольника DEFH равна

$DE \cdot DH=2x \cdot x=2 ( 3 - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 =24 - 12 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Ответ: $24 - 12 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

Приведем решение пункта а) Сергея Федорова.
Треугольник ABC = бедренный, следовательно,

$\angle ABC = \angle ACB = \frac{180 ^{\circ} - \angle A}{2} =30 ^{\circ}$

Углы BDE и DBC равны как накрест лежащие, угол DBC равен углу DBE, поскольку BD является биссектрисой, следовательно, углы BDE и DBE равны, тогда треугольник DBE = бедренный, DE  =  BE. В треугольнике BFE катет EF лежит против угла в 30°, следовательно, BE  =  2EF, тогда DE  =  2EF.