[рис.] а)  Пусть угол BAC  =  α. Углы BAC и KHB равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим четырёхугольник BKHM: в нем ∠BKH + ∠BMH  =  90° + 90°  =  180°, следовательно, четырёхугольник BKHM вписан в окружность. Значит, углы KHB и KMB  — вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу, следовательно, они равны. Таким образом, ∠BAC = ∠KHB = ∠KMB. Треугольники ABC и MBK имеют общий угол B, а ∠BAC = ∠KMB, значит, эти треугольники подобны по двум углам.
б)  Сумма углов К и М четырехугольника BKHM равна 180°, поэтому он вписан в окружность. Прямоугольный треугольник BKH вписан в эту же окружность, а потому радиус R окружности равен половине гипотенузы BH: R  =  1. Треугольник MBK также вписан в эту окружность. Коэффициент подобия треугольников ABC и MBK равен отношению их сходственных элементов, поэтому он равен $4:1 = 4$ Тогда для отношения площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC получаем:

$\frac{S_MBK}{S_AKMC} = $\frac{S_MBK}{S_ABC - S_MBK}$ = $\frac{S_MBK}{k ^2 S_MBK - S_MBK}$ = $\frac{1}{k ^2 - 1}$ = $\frac{1}{16 - 1}$ = \frac{1}{15}$

Ответ: $\frac{1}{15}$

Приведем другое решение пункта б).
Из прямоугольного треугольника BKH находим, что $BH= \frac{BK}{\sin \angle KHB}$ Для треугольника ABC справедливо равенство $2R= \frac{BC}{\sin \angle BAC}$ Учитывая, что ∠KHB = ∠BAC, получаем: $\frac{BC}{BK} = \frac{2R}{BH}$ Стороны BC и BK  — сходственные в подобных треугольниках ABC и MBK, следовательно, их коэффициент подобия $k= $\frac{BC}{BK}$ = $\frac{2R}{BH}$ =4$ Найдём отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC:

$\frac{S_MBK}{S_AKMC} = $\frac{S_MBK}{S_ABC - S_MBK}$ = $\frac{S_MBK}{k ^2 S_MBK - S_MBK}$ = $\frac{1}{k ^2 - 1}$ = $\frac{1}{16 - 1}$ = \frac{1}{15}$