[рис.] а)  Точки B, C, B1, C1 лежат на окружности с диаметром BC, поэтому сумма углов BCB1 и BC1B1 равна 180°. Отсюда следует равенство углов PC1B и PCB1. А тогда треугольники PC1B и PCB1 подобны по двум углам. Что и требовалось доказать.
б)  Пусть H  — точка пересечения высот треугольника ABC. Заметим, что треугольник PBB1 = бедренный, поэтому углы BPB1 и BB1P равны. А углы HB1C1 и HAC1 опираются на одну и ту же дугу окружности, построенной на AH как на диаметре, поэтому они тоже равны. Последний же угол, как легко видеть равен $90 в степени ( \circ ) - \angle ABC=10 в степени ( \circ )$ Теперь получаем, что угол PBB1 равен $180 в степени ( \circ ) - 10 в степени ( \circ ) - 10 в степени ( \circ ) =160 в степени ( \circ )$ Угол ABB1 же тогда равен $160 в степени ( \circ ) + 80 в степени ( \circ ) - 180 в степени ( \circ ) =60 в степени ( \circ )$ откуда $\angle A=30 в степени ( \circ )$
Заметим теперь, что

$AB_1:AB=AC_1:AC= \cos \angle A= \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2}$

поэтому треугольники AB1C1 и ABC подобны с коэффициентом $\frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2}$ Диаметр описанной окружности треугольника ABC равен $\frac{BC}{\sin A} =4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ Диаметры описанных окружностей подобных треугольников относятся как коэффициент подобия, поэтому $AH:4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента :2$ Отсюда AH  =  6.

Ответ: б) 6.