[рис.] а)  Пусть точка M  — середина отрезка BB1, точка N  — середина отрезка CC1, точка K  — середина основания BC. По теореме о средней линии $MK = \frac{B_1C}{2}$ и $NK = \frac{BC_1}{2}$ Отсюда

$BK = MK = NK = CK = \frac{BC}{2}$

значит, точки B, M, N, C лежат на окружности с центром K.
б)  Пусть отрезки BB1 и CC1 пересекаются в точке P. Поскольку $BC ^2 + AB ^2 = AC ^2$ угол ABC прямой, значит,

$\angle BCP = \frac{180 ^{\circ} - 90 ^{\circ}}{2} = 45 ^{\circ}$

Пусть угол PBC равен α, тогда

$\cos ( 180 ^{\circ} - 2 альфа ) = \cos \angle BCA = $\frac{8}{17}$ = сильно 1 - 2 \cos ^2 альфа = $\frac{8}{17}$ \underset альфа принадлежит ( 0; 180 ^{\circ} ) \mathop = сильно$
$\mathop = сильно \cos альфа = \frac{3}{$\sqrt{аргумента: 34}$ аргумента} \underset альфа принадлежит ( 0; 180 ^{\circ} ) \mathop = сильно \sin альфа = \frac{5}{$\sqrt{аргумента: 34}$ аргумента}$ $\cos ( 180 ^{\circ} - 2 альфа ) = \cos \angle BCA = $\frac{8}{17}$ = сильно$
$ = сильно 1 - 2 \cos ^2 альфа = $\frac{8}{17}$ \underset альфа принадлежит ( 0; 180 ^{\circ} ) \mathop = сильно$
$\mathop = сильно \cos альфа = \frac{3}{$\sqrt{аргумента: 34}$ аргумента} \underset альфа принадлежит ( 0; 180 ^{\circ} ) \mathop = сильно \sin альфа = \frac{5}{$\sqrt{аргумента: 34}$ аргумента}$

Следовательно,

$\cos \angle BPC = \cos ( 135 ^{\circ} - альфа ) = - \frac{$\sqrt{3}$}{2} \cdot \cos альфа + \frac{$\sqrt{3}$}{2} \sin альфа =$
$= - \frac{$\sqrt{2}$}{2} \cdot \frac{3}{$\sqrt{аргумента: 34}$ аргумента} + \frac{$\sqrt{2}$}{2} \cdot \frac{5}{$\sqrt{аргумента: 34}$ аргумента} = \frac{2 $\sqrt{2}$}{2 $\sqrt{аргумента: 34}$ аргумента} = \frac{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}{17}$ $\cos \angle BPC = \cos ( 135 ^{\circ} - альфа ) =$
$= - \frac{$\sqrt{3}$}{2} \cdot \cos альфа + \frac{$\sqrt{3}$}{2} \sin альфа =$
$= - \frac{$\sqrt{2}$}{2} \cdot \frac{3}{$\sqrt{аргумента: 34}$ аргумента} + \frac{$\sqrt{2}$}{2} \cdot \frac{5}{$\sqrt{аргумента: 34}$ аргумента} = \frac{2 $\sqrt{2}$}{2 $\sqrt{аргумента: 34}$ аргумента} = \frac{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}{17}$

Ответ: б) $\frac{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}{17}$

Приведем решение пункта б) Александра Турбанова (Липецк).
[рис.]
Заметим, что $8 ^2 + 15 ^2 = 17 ^2$ значит, по обратной теореме Пифагора, треугольник ABC прямоугольный. Введем систему координат с началом в точке  B, как показано на рисунке. В этой системе координат имеем:

$B ( 0;0 )$
$C_1 ( 8; 0 )$
$C ( 0; 8 )$
$A ( 15;0 )$

и тогда $\overrightarrowCC_1 ( 8; - 8 )$
Поскольку CB1  =  8 и AC  =  17, то $\frac{CB_1}{B_1A} = \frac{8}{9}$ Найдем координаты точки B1:

$B_1y = \frac{0 + 15 \cdot $\frac{8}{9}$ ,}{1 + $\frac{8}{9}$} = $\frac{40}{3}$ \cdot $\frac{9}{17}$ = \frac{120}{17}$
$B_1x = \frac{8 + 0 \cdot $\frac{8}{9}$ ,}{$\frac{8}{9}$ + 1} = 8 \cdot $\frac{9}{17}$ = \frac{72}{17}$

откуда $\overrightarrowBB_1 = ( $\frac{120}{17}$ ; $\frac{72}{17}$ )$
\cos угла между прямыми BB1 и CC1 равен модулю \cos а угла между их направляющими векторами:

$\cos ( \angle BB_1; CC_1 ) = \frac{\left | 8 \cdot $\frac{120}{17}$ - 8 \cdot $\frac{72}{17}$ |,}{$\sqrt{аргумента: 64 + 64}$ аргумента \sqrt{аргумента: ( $\frac{120}{17}$ ) ^2 + ( $\frac{72}{17}$ ) ^2} аргумента} =$
$= \frac{$\frac{48}{17}$ \cdot 8,}{8 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot \frac{1}{} 17 $\sqrt{аргумента: 19 584}$ аргумента} = \frac{48}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: 2 в степени 7 \cdot 3 ^2 \cdot 17}$ аргумента} = \frac{48}{16 \cdot 3 \cdot $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента} = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}$ $\cos ( \angle BB_1; CC_1 ) = \frac{\left | 8 \cdot $\frac{120}{17}$ - 8 \cdot $\frac{72}{17}$ |,}{$\sqrt{аргумента: 64 + 64}$ аргумента \sqrt{аргумента: ( $\frac{120}{17}$ ) ^2 + ( $\frac{72}{17}$ ) ^2} аргумента} =$
$= \frac{$\frac{48}{17}$ \cdot 8,}{8 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot \frac{1}{} 17 $\sqrt{аргумента: 19 584}$ аргумента} =$
$= \frac{48}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: 2 в степени 7 \cdot 3 ^2 \cdot 17}$ аргумента} = \frac{48}{16 \cdot 3 \cdot $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента} = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}$