[рис.] а)  Пусть BB1  — высота треугольника ABC. Тогда подобны пары треугольников: AHB1 и ACA1, BHA1 и BCB1. Из этих подобий и теоремы Пифагора следуют две цепочки равенств:

$AM ^2 - BM ^2 = ( AA_1 ^2 + A_1M ^2 ) - BM ^2 = AA_1 ^2 - ( BM - A_1M ) ( BM + A_1M ) =$
$= AA_1 ^2 - A_1B \cdot A_1C = AC ^2 - A_1C ^2 - A_1B \cdot A_1C = AC ^2 - A_1C \cdot BC$ $AM ^2 - BM ^2 = ( AA_1 ^2 + A_1M ^2 ) - BM ^2 =$
$= AA_1 ^2 - ( BM - A_1M ) ( BM + A_1M ) = AA_1 ^2 - A_1B \cdot A_1C =$
$= AC ^2 - A_1C ^2 - A_1B \cdot A_1C = AC ^2 - A_1C \cdot BC$ $AM ^2 - BM ^2 = ( AA_1 ^2 + A_1M ^2 ) - BM ^2 =$
$= AA_1 ^2 - ( BM - A_1M ) ( BM + A_1M ) =$
$= AA_1 ^2 - A_1B \cdot A_1C =$
$= AC ^2 - A_1C ^2 - A_1B \cdot A_1C = AC ^2 - A_1C \cdot BC$

$AH \cdot AA_1 = AB_1AC = ( AC - CB_1 ) \cdot AC = AC ^2 - CB_1 \cdot CA = AC ^2 - CA_1 \cdot CB$ $AH \cdot AA_1 = AB_1AC = ( AC - CB_1 ) \cdot AC =$
$= AC ^2 - CB_1 \cdot CA = AC ^2 - CA_1 \cdot CB$

откуда $AH \cdot AA_1 = AM ^2 - BM ^2$ Что и требовалось доказать.
б)  По формуле длины медианы для треугольника ABC получим, что

$4AM ^2 = 2AB ^2 + 2AC ^2 - BC ^2$

откуда

$BC ^2 = 2 \cdot 15 ^2 + 2 \cdot 13 ^2 - 4 \cdot 4 \cdot 37 = 196 = 14 ^2$

По формуле Герона находим:

$S_ABC = $\sqrt{аргумента: 21 ( 21 - 15 ) ( 21 - 14 ) ( 21 - 13 )}$ аргумента = 84$

Следовательно, $AA_1 \cdot BC = 168$ то есть $AA_1 = 12$ Используя результат пункта a), получаем, что

$AH = ( AM ^2 - BM ^2 ) : AA_1 = ( 148 - 49 ) : 12 = \frac{33}{4}$

Ответ: б) $\frac{33}{4}$