[рис.] a)  Пусть O  — центр окружности, а прямая EO пересекает BC в точке Q. Радиус OE перпендикулярен касательной DE, следовательно, прямые EO и AB параллельны. Вписанный угол ABC прямой. Значит, прямые CB и ED параллельны. Четырёхугольник BQED  — прямоугольник. Отрезок OQ  — перпендикуляр к хорде BC. Значит, Q  — середина BC. Тогда $B C = 2 B Q = 2 D E$
б)  По теореме о касательной и секущей:

$D E ^2 = A D \cdot ( A D + A B ) = 4 ( 4 + 5 ) =36$

откуда DE  =  6. Тогда $B C=2 D E=12$ По теореме Пифагора:

$A E ^2 = A D ^2 + D E ^2 = 16 + 36 = 52$

откуда $A E=2 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента$
Так как AC  — диаметр окружности, углы ABC и AEC прямые. Поэтому

$A C ^2 = A B ^2 + B C ^2 = 25 + 144 = 169$

откуда AC  =  13, значит,

$C E = $\sqrt{аргумента: A C ^2 - A E ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 169 - 52}$ аргумента = 3 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента$

Перпендикуляр EH, опущенный из точки E на прямую AC,  — высота прямоугольного треугольника AEC, проведённая из вершины прямого угла, следовательно,

$E H = $\frac{C E \cdot A E}{A C}$ = \frac{3 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{13} = 6$

Ответ: б)  6.

Приведем решение пункта б) Андрея Субаева.
Отрезки OE и OC равны как радиусы окружности. Углы EOH и COQ равны как вертикальные. Угол CQO прямой по доказанному в пункте а). Тогда прямоугольные треугольники OEH и OCQ равны по гипотенузе и острому углу, следовательно, EH  =  CQ.
По теореме о касательной и секущей:

$D E ^2 = A D \cdot ( A D + A B ) = 4 ( 4 + 5 ) =36$

откуда DE  =  6. Тогда $B C=2 D E=12$ По доказанному в пункте а) точка Q  — середина BC, тогда EH  =  QC  =  6.

Приведем решение пункта б) Вадима Степанюка.
По теореме о касательной и секущей $D E ^2 = A D \cdot ( A D + A B ) = 4 ( 4 + 5 ) =36$ откуда DE  =  6. Тогда $B C=2 D E=12$ В треугольнике ABC по теореме Пифагора $AC ^2 = A B ^2 + BC ^2 = 169$ откуда AC  =  13, а тогда AO  =  EO  =  6,5.
Выразим площадь треугольника AEO двумя способами: $S_AEO= $\frac{1}{2}$ EO \cdot DE$ $S_AEO= $\frac{1}{2}$ AO \cdot EH$ тогда

$EH= $\frac{EO \cdot DE}{AO}$ =DE=6$