[рис.] а)   $CK=CM$ и $AP=AM$ поэтому треугольники MCK и PAM = бедренные, причём $\angle CMK=\angle AMP$   — углы при их основаниях MK и $MP$ Значит, $\angle MKC=\angle MPA$ Следовательно, прямая AP параллельна прямой BC.
б)  Обозначим $BK=BL=x$ Тогда $CK=CM=2$ $AL=AM=3$ $BC=2 + x$ $AB=3 + x$
По теореме Пифагора $AC ^2 =BC ^2 + AB ^2$ или $25= ( 2 + x ) ^2 + ( 3 + x ) ^2$ откуда $x=1$ Значит, $BC=3$ $AB=4$
Поскольку $BC=AP=3$ и $BC\parallel AP$ четырёхугольник ABCP  — прямоугольник, значит, $CP=AB=4$ Треугольник AMQ подобен треугольнику CMP с коэффициентом $\frac{AM}{MC} = \frac{3}{2}$ поэтому $AQ= $\frac{3}{2}$ CP= $\frac{3}{2}$ \cdot 4=6$

По теореме Пифагора $PQ= $\sqrt{аргумента: AP ^2 + AQ ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 9 + 36}$ аргумента =3 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$
Обозначим $\angle BAC= альфа$ Тогда $\angle MAO= \frac{альфа}{2}$ $\angle MAT=45 ^{\circ} - \frac{альфа}{2}$ $\angle PAT=90 ^{\circ} - \angle QAT=90 ^{\circ} - ( 45 ^{\circ} + $\frac{альфа}{2}$ ) =45 ^{\circ} - \frac{альфа}{2}$
поэтому AT  — биссектриса, а значит, и высота = бедренного треугольника $MAP$
Таким образом, AT  — высота прямоугольного треугольника PAQ, проведённая из вершины прямого угла, следовательно, $QT= $\frac{AQ ^2}{PQ}$ = \frac{36}{3 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента} = \frac{12}{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}$

Ответ: $\frac{12}{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}$