Первая окружность, вписанная в = бедренный треугольник ABC (AB = AC), касается боковой стороны AB в точке P, а основания BC — в точке M. Вторая окружность (вневписанная), касающаяся основания BC и продолжений боковых сторон, касается прямой AB в точке Q.
а) Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника PMQ, совпадает с вершиной B.
б) Найдите стороны треугольника ABC, если известно, что PQ = 12, а расстояние между центрами первой и второй окружностей = 15.
а) Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника PMQ, совпадает с вершиной B.
б) Найдите стороны треугольника ABC, если известно, что PQ = 12, а расстояние между центрами первой и второй окружностей = 15.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) В = бедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, совпадает с биссектрисой и медианой, поэтому точка M одновременно является серединой стороны BC и точкой касания вневписанной окружности с этой стороной. Длины отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, следовательно, $BP = BM$ для вписанной окружности и $BM = BQ$ для вневписанной. Таким образом, $BP = BM = BQ$ то есть точка B = удалена от вершин треугольника PMQ, а потому является центром описанной около него окружности.
б) Пусть точки O1 и O2 — центры вписанной и вневписанной окружностей соответственно. Пусть $PO_1 = r$ тогда $QO_2 = 15 - r$ Проведем из точки O1 прямую, параллельную прямой PQ, тогда четырехугольник PO1HQ — прямоугольник по определению. По теореме Пифагора для треугольника HO1O2 получаем:
$O_1H ^2 + HO_2 ^2 = O_1O_2 ^2 = сильно PQ ^2 + ( QO_2 - PO_1 ) ^2 = 15 ^2 = сильно 12 ^2 + ( 15 - 2r ) ^2 = 15 ^2 = сильно$
$ = сильно ( 15 - 2r ) ^2 = 81 = сильно 15 - 2r = 9 = сильно 2r = 6 = сильно r = 3$ $O_1H ^2 + HO_2 ^2 = O_1O_2 ^2 = сильно PQ ^2 + ( QO_2 - PO_1 ) ^2 = 15 ^2 = сильно$
$ = сильно 12 ^2 + ( 15 - 2r ) ^2 = 15 ^2 = сильно ( 15 - 2r ) ^2 = 81 = сильно$
$ = сильно 15 - 2r = 9 = сильно 2r = 6 = сильно r = 3$ $O_1H ^2 + HO_2 ^2 = O_1O_2 ^2 = сильно$
$ = сильно PQ ^2 + ( QO_2 - PO_1 ) ^2 = 15 ^2 = сильно$
$ = сильно 12 ^2 + ( 15 - 2r ) ^2 = 15 ^2 = сильно ( 15 - 2r ) ^2 = 81 = сильно$
$ = сильно 15 - 2r = 9 = сильно 2r = 6 = сильно r = 3$
Суммы длин противоположных сторон четырехугольника QBMO2 равны, поэтому около него можно описать окружность, то есть $\angle AO_2Q = 180 ^{\circ} - \angle QBC$ Сумма смежных углов равна 180°, поэтому $\angle ABC = 180 ^{\circ} - \angle QBC$ Следовательно,
$\cos \angle ABC = \cos \angle AO_2Q = $\frac{O_2H}{O_1O_2}$ = $\frac{15 - 2r}{15}$ = $\frac{9}{15}$ = \frac{3}{5}$
откуда
$\frac{BM}{AB} = $\frac{3}{5}$ = сильно AB = $\frac{5}{3}$ BM = сильно AB = $\frac{5}{3}$ \cdot $\frac{PQ}{2}$ = сильно AB = 10$
Таким образом, $AB = AC = 10$ $BC = 2BM = PQ = 12$
Ответ: б) 10, 10, 12.
б) Пусть точки O1 и O2 — центры вписанной и вневписанной окружностей соответственно. Пусть $PO_1 = r$ тогда $QO_2 = 15 - r$ Проведем из точки O1 прямую, параллельную прямой PQ, тогда четырехугольник PO1HQ — прямоугольник по определению. По теореме Пифагора для треугольника HO1O2 получаем:
$O_1H ^2 + HO_2 ^2 = O_1O_2 ^2 = сильно PQ ^2 + ( QO_2 - PO_1 ) ^2 = 15 ^2 = сильно 12 ^2 + ( 15 - 2r ) ^2 = 15 ^2 = сильно$
$ = сильно ( 15 - 2r ) ^2 = 81 = сильно 15 - 2r = 9 = сильно 2r = 6 = сильно r = 3$ $O_1H ^2 + HO_2 ^2 = O_1O_2 ^2 = сильно PQ ^2 + ( QO_2 - PO_1 ) ^2 = 15 ^2 = сильно$
$ = сильно 12 ^2 + ( 15 - 2r ) ^2 = 15 ^2 = сильно ( 15 - 2r ) ^2 = 81 = сильно$
$ = сильно 15 - 2r = 9 = сильно 2r = 6 = сильно r = 3$ $O_1H ^2 + HO_2 ^2 = O_1O_2 ^2 = сильно$
$ = сильно PQ ^2 + ( QO_2 - PO_1 ) ^2 = 15 ^2 = сильно$
$ = сильно 12 ^2 + ( 15 - 2r ) ^2 = 15 ^2 = сильно ( 15 - 2r ) ^2 = 81 = сильно$
$ = сильно 15 - 2r = 9 = сильно 2r = 6 = сильно r = 3$
Суммы длин противоположных сторон четырехугольника QBMO2 равны, поэтому около него можно описать окружность, то есть $\angle AO_2Q = 180 ^{\circ} - \angle QBC$ Сумма смежных углов равна 180°, поэтому $\angle ABC = 180 ^{\circ} - \angle QBC$ Следовательно,
$\cos \angle ABC = \cos \angle AO_2Q = $\frac{O_2H}{O_1O_2}$ = $\frac{15 - 2r}{15}$ = $\frac{9}{15}$ = \frac{3}{5}$
откуда
$\frac{BM}{AB} = $\frac{3}{5}$ = сильно AB = $\frac{5}{3}$ BM = сильно AB = $\frac{5}{3}$ \cdot $\frac{PQ}{2}$ = сильно AB = 10$
Таким образом, $AB = AC = 10$ $BC = 2BM = PQ = 12$
Ответ: б) 10, 10, 12.
Правильный ответ:
б) 10, 10, 12
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 66981 • Задание №11
Решите систему неравенств $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 6x в квадрате плюс 5x ...
ID 64659 • Задание №2
Студентами технических вузов собираются стать 27 выпускников школы. Они составляют 30% от числа выпускников. С...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...