[рис.] а)  Пусть окружность касается оснований BC и AD в точках K и L соответственно, а ее центр находится в точке O.
Лучи AO и BO являются биссектрисами углов BAD и ABC соответственно, поэтому

$\angleBAO + \angleABO= $\frac{\angleBAD + \angleABC}{2}$ =90 ^{\circ}$

то есть треугольник AOB прямоугольный. Аналогично треугольник COD тоже прямоугольный. Пусть BM  =  x, CN  =  y, тогда AM  =  8x, DN  =  2y.

$MO= $\sqrt{аргумента: AM \cdot MB}$ аргумента =2 $\sqrt{2}$ \cdot x=NO= $\sqrt{аргумента: CN \cdot ND}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot y$

откуда y  =  2x. Получаем: BK  =  BM  =  x, AL  =  AM  =  8x, CK  =  CN  =  2x, DL  =  DN  =  4x, BC  =  BK + KC  =  3x, AD  =  AL + LD  =  12x, то есть AD  =  4BC.
б)  Заметим, что $OM=2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot x= $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента$ поэтому $x= \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2}$
Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке P, а прямые MN и PO пересекаются в точке Q. Тогда треугольники BPC и APD подобны, поэтому AP  =  4BP, AB  =  3BP, BP  =  3x, PN  =  PM  =  4x. Прямая  PO является серединным перпендикуляром к MN. В прямоугольном треугольнике OMP получаем:

$OP= $\sqrt{аргумента: OM ^2 + MP ^2}$ аргумента =2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента \cdot x, MQ= $\frac{MP \cdot MO}{PO}$ = \frac{4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3} \cdot x$

Значит, $MN=2MQ= \frac{8 $\sqrt{3}$}{3} \cdot x=4$

Ответ: б) 4.

Приведем другое решение пункта а).
[рис.]
Пусть окружность касается оснований BC и AD в точках K и L соответственно, ее центр находится в точке  O, а BM  =  x, CN  =  y, тогда AM  =  8x, DN  =  2y. Поскольку точки M, K, N и L  — точки касания, $MB = BK = x$ $KC = CN = y$ $LD = DN = 2y$ и $AM = AL = 8x$ Опустим высоты BH и CQ:

$AH=AL - BK=7x$ $QD=LD - KC=y$

тогда по теореме Пифагора $BH= $\sqrt{аргумента: AB ^2 - AH ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 32}$ аргумента x$ $CQ= $\sqrt{аргумента: CD ^2 - QD ^2}$ аргумента = $\sqrt{8}$ y$ Поскольку $BH=CQ$ имеем $\sqrt{аргумента: 32} аргумента x= $\sqrt{8}$ y$ откуда $y=2x$
Таким образом, BC  =  BK + KC  =  3x, AD  =  AL + LD  =  12x, то есть AD  =  4BC.