[рис.] а)  По теореме \cos ов получаем:

$\cos \angle BAC = $\frac{AB ^2 + AC ^2 - BC ^2}{2 \cdot AB \cdot AC}$ = $\frac{16 + 25 - 61}{2 \cdot 4 \cdot 5}$ = - \frac{1}{2}$

отсюда $\angle BAC = 120 ^{\circ}$ Треугольник BCD = сторонний, в нем угол BDC равен 60°. Тогда $\angleBAC + \angleBDC = 180 ^{\circ}$ а потому четырехугольник ABDC вписан в окружность.
б)  Пусть точка O  — центр окружности, точка M  — середина BC, точка P  — точка пересечения BC и AD. Заметим, что точка O  — центр = стороннего треугольника BCD, следовательно,

$OM = $\frac{1}{3}$ DM = $\frac{1}{3}$ \cdot $\sqrt{аргумента: 61}$ аргумента \cdot \frac{$\sqrt{3}$}{2} = \frac{$\sqrt{аргумента: 183}$ аргумента}{6}$

По свойству вписанных углов находим:

$\angle BAD = \angle BCD = \angle CBD = \angle CAD = 60 ^{\circ}$
Значит, AP  — биссектриса угла BAC, тогда

$\frac{BP}{PC} = $\frac{BA}{AC}$ = сильно BP = $\frac{4}{9}$ $\sqrt{аргумента: 61}$ аргумента$

отсюда

$PM = ( $\frac{1}{2}$ - $\frac{4}{9}$ ) BC = \frac{$\sqrt{аргумента: 61}$ аргумента}{18}$

По теореме Пифагора получаем, что

$PO ^2 = PM ^2 + MO ^2 = $\frac{61}{324}$ + $\frac{183}{36}$ = 61 ( $\frac{1}{324}$ + $\frac{1}{12}$ ) = 61 \cdot $\frac{28}{324}$ = \frac{427}{81}$

Таким образом, $PO = \frac{$\sqrt{аргумента: 427}$ аргумента}{9}$

Ответ: б) $\frac{$\sqrt{аргумента: 427}$ аргумента}{9}$