Если $a=0$ то уравнение принимает вид $x=16|x|$ и имеет один корень.
В остальных случаях представим график обеих частей уравнения.
График левой части  — прямая, параллельная прямой $y=x$
График функции $4|x| - a ^2$   — два луча с общим началом в точке $( 0; - a ^2 )$ и угловыми коэффициентами $\pm 4$
Поэтому график правой части  — два луча (с началами в точках $( \pm $\frac{a ^2}{4}$ ;0 )$ и угловыми коэффициентами $\pm 16$ ) и два отрезка, соединяющих те же точки с точкой $( 0;4a ^2 )$
Из графика правой части видно, что прямая, параллельная $y=x$ имеет с ним ровно три общих точки тогда и только тогда, когда проходит либо через $( 0;4a ^2 )$ либо через $( - $\frac{a ^2}{4}$ ;0 )$ Осталось выяснить, при каких a это происходит.
В первом случае $ - $\frac{a}{2}$ =4a ^2$ откуда $a=0$ (уже разбиралось) либо $a= - \frac{1}{8}$ (подходит)
Во втором случае $ - $\frac{a ^2}{4}$ - $\frac{a}{2}$ =0$ откуда $a=0$ (уже разбиралось) либо $a= - 2$ (подходит).

Ответ: $a= - 2$ или $a= - \frac{1}{8}$