При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно одно решение?
$( x - 3 ) ( x + 1 ) + 3 ( x - 3 ) \sqrt{аргумента: $\frac{x + 1}{x - 3}$} аргумента = ( a - 1 ) ( a + 2 )$
$( x - 3 ) ( x + 1 ) + 3 ( x - 3 ) \sqrt{аргумента: $\frac{x + 1}{x - 3}$} аргумента = ( a - 1 ) ( a + 2 )$
💡 Пошаговый разбор и решение:
Рассмотрим два случая.
1) $x больше 3$ Обозначая $t= $\sqrt{аргумента: ( x - 3 ) ( x + 1 )}$ аргумента$ получим
$t ^2 + 3t=a ^2 + a - 2, ( t - a + 1 ) ( t + a + 2 ) =0,t=a - 1$ или $t= - a - 2$
[рис.]
Поскольку $\sqrt{аргумента: ( x - 3 ) ( x + 1 )} аргумента$ на нашем промежутке возрастает, t принимает все значения в промежутке $( 0; бесконечность )$ Это дает следующее число корней:
При $a принадлежит [ - 2;1 ]$ нет корней
При прочих a есть единственный корень.
2) $x меньше или = - 1$ Обозначая $t= $\sqrt{аргумента: ( x - 3 ) ( x + 1 )}$ аргумента$ получим
$t ^2 - 3t=a ^2 + a - 2, ( t - a - 2 ) ( t + a - 1 ) =0,t=a + 2илиt= - a + 1$ $t ^2 - 3t=a ^2 + a - 2, ( t - a - 2 ) ( t + a - 1 ) =$
$=0,t=a + 2илиt= - a + 1$
[рис.] Поскольку $\sqrt{аргумента: ( x - 3 ) ( x + 1 )} аргумента$ на нашем промежутке убывает, t принимает все значения в промежутке $[ 0; бесконечность )$ Это дает следующее число корней:
При $a принадлежит [ - 2; - 0,5 ) \cup ( - 0,5; 1 ]$ два корня
При прочих a есть единственный корень.
Сочетая полученные ответы, видим, что единственный корень возможен только при $a= - 0,5$
Ответ: $a= - 0,5$
1) $x больше 3$ Обозначая $t= $\sqrt{аргумента: ( x - 3 ) ( x + 1 )}$ аргумента$ получим
$t ^2 + 3t=a ^2 + a - 2, ( t - a + 1 ) ( t + a + 2 ) =0,t=a - 1$ или $t= - a - 2$
[рис.]
Поскольку $\sqrt{аргумента: ( x - 3 ) ( x + 1 )} аргумента$ на нашем промежутке возрастает, t принимает все значения в промежутке $( 0; бесконечность )$ Это дает следующее число корней:
При $a принадлежит [ - 2;1 ]$ нет корней
При прочих a есть единственный корень.
2) $x меньше или = - 1$ Обозначая $t= $\sqrt{аргумента: ( x - 3 ) ( x + 1 )}$ аргумента$ получим
$t ^2 - 3t=a ^2 + a - 2, ( t - a - 2 ) ( t + a - 1 ) =0,t=a + 2илиt= - a + 1$ $t ^2 - 3t=a ^2 + a - 2, ( t - a - 2 ) ( t + a - 1 ) =$
$=0,t=a + 2илиt= - a + 1$
[рис.] Поскольку $\sqrt{аргумента: ( x - 3 ) ( x + 1 )} аргумента$ на нашем промежутке убывает, t принимает все значения в промежутке $[ 0; бесконечность )$ Это дает следующее число корней:
При $a принадлежит [ - 2; - 0,5 ) \cup ( - 0,5; 1 ]$ два корня
При прочих a есть единственный корень.
Сочетая полученные ответы, видим, что единственный корень возможен только при $a= - 0,5$
Ответ: $a= - 0,5$
Правильный ответ:
$a= минус 0,5$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 67261 • Задание №12
Найдите область определения функции $y= корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: 2 в степени лев...
ID 68516 • Задание №14
Точка О — центр правильного шестиугольника ABCDEF, в котором AC = 10,5. Найдите радиус окружности, касающей...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ. | 4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a
ИЛИ
установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ. | 4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a
ИЛИ
установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...