Выражение $4 $\sqrt{аргумента: 2x в степени 4 + x ^3}$ аргумента$ не определено при $ - $\frac{1}{2}$ меньше x меньше 0$ поэтому такие значения x не могут являться корнями уравнения.
Если $4x ^2 + x - 8=0$ то $2x в степени 4 + x ^3 не = 0$ поэтому корни этого уравнения можно сразу добавить в ответ. При прочих x исходное уравнение можно переписать уравнение в виде

$\frac{4 $\sqrt{аргумента: 2x в степени 4 + x ^3}$ аргумента}{4x ^2 + x - 8} =\pm корень 4 степени из: начало аргумента: 4 - ( a в степени 4 - 2 ) ^2 конец аргумента$
где знак правой части определяется знаком a.
Выражение в правой части может принимать все значения в промежутке $[ - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ; $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ]$ поэтому вопрос свелся к поиску решений неравенства

$\left| \frac{4 $\sqrt{аргумента: 2x в степени 4 + x ^3}$ аргумента}{4x ^2 + x - 8} | больше $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = сильно $\frac{16 ( 2x в степени 4 + x ^3 )}{( 4x ^2 + x - 8 ) ^2}$ - 2 больше 0 = сильно $\frac{8 ( 2x в степени 4 + x ^3 ) - ( 4x ^2 + x - 8 ) ^2}{( 4x ^2 + x - 8 ) ^2}$ больше 0 = сильно$ $\left| \frac{4 $\sqrt{аргумента: 2x в степени 4 + x ^3}$ аргумента}{4x ^2 + x - 8} | больше $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = сильно $\frac{16 ( 2x в степени 4 + x ^3 )}{( 4x ^2 + x - 8 ) ^2}$ - 2 больше 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{8 ( 2x в степени 4 + x ^3 ) - ( 4x ^2 + x - 8 ) ^2}{( 4x ^2 + x - 8 ) ^2}$ больше 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{63x ^2 + 16x - 64}{( 4x ^2 + x - 8 ) ^2}$ больше 0 = сильно $\frac{( 9x - 8 ) ( 7x + 8 )}{( 4x ^2 + x - 8 ) ^2}$ больше 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x меньше - $\frac{8}{7}$ ,x больше $\frac{8}{9}$ . \end{array} \right.$

Заметим, что корни уравнения $4x ^2 + x - 8=0$ попали в эти промежутки.

Ответ: $( - бесконечность ; - $\frac{8}{7}$ ) \cup ( - $\frac{1}{2}$ ;0 ) \cup ( $\frac{8}{9}$ ; + бесконечность )$