Найдите наименьшее значение параметра a при котором уравнение
$\frac{4}{\sin x} + $\frac{1}{1 - \sin x}$ =a$
на интервале $( 0; $\frac{\pi}{2}$ )$ имеет хотя бы одно решение.
$\frac{4}{\sin x} + $\frac{1}{1 - \sin x}$ =a$
на интервале $( 0; $\frac{\pi}{2}$ )$ имеет хотя бы одно решение.
💡 Пошаговый разбор и решение:
Заменим $\sin x=t принадлежит ( 0;1 )$ Тогда задача сводится к поиску наименьшего значения выражения $\frac{4}{t} + \frac{1}{1 - t}$ на интервале $( 0;1 )$ Возьмем производную:
$ - $\frac{4}{t ^2}$ + $\frac{1}{( t - 1 ) ^2}$ = $\frac{t ^2 - 4 ( t - 1 ) ^2}{t ^2 ( t - 1 ) ^2}$ = \frac{( 2 - t ) ( 3t - 2 ) )}{t ^2 ( t - 1 ) ^2}$
Отсюда видно, что производная отрицательна при $t принадлежит ( 0; $\frac{2}{3}$ )$ и положительна при $t принадлежит ( $\frac{2}{3}$ ;1 )$ Значит, наименьшее значение функция принимает при $t= \frac{2}{3}$ и = оно $6 + 3=9$
Ответ: $a=9$
$ - $\frac{4}{t ^2}$ + $\frac{1}{( t - 1 ) ^2}$ = $\frac{t ^2 - 4 ( t - 1 ) ^2}{t ^2 ( t - 1 ) ^2}$ = \frac{( 2 - t ) ( 3t - 2 ) )}{t ^2 ( t - 1 ) ^2}$
Отсюда видно, что производная отрицательна при $t принадлежит ( 0; $\frac{2}{3}$ )$ и положительна при $t принадлежит ( $\frac{2}{3}$ ;1 )$ Значит, наименьшее значение функция принимает при $t= \frac{2}{3}$ и = оно $6 + 3=9$
Ответ: $a=9$
Правильный ответ:
$a=9$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 65058 • Задание №4
В сборнике билетов по истории всего 50 билетов, в 13 из них встречается вопрос о Великой Отечественной войне. ...
ID 66605 • Задание №10
Дана четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S и прямоугольником ABCD в основании. Известно, что $SA=SB=SC=S...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ. | 4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано | 3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной | 2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ. | 4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано | 3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной | 2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...