ОДЗ неравенства $x принадлежит [ 0;1 ]$ Заметим, что $x= \frac{3}{4}$ является решением этого неравенства, а при всех прочих x неравенство можно сократить на положительное число $|3 - 4x|$ Получим

$\sqrt{аргумента: x - x ^2} аргумента больше или = 2ax + 0,5 - a$

Поскольку обе функции (в правой и левой частях) непрерывны на отрезке $[ 0;1 ]$ множество решений неравенства представляет собой объединение нескольких отрезков и точек. Поскольку мы хотим после объединения с точкой $x= \frac{3}{4}$ получить ровно один отрезок длиной 0,5, то и до объединения есть ровно один отрезок длиной 0,5, содержащий точку $x= \frac{3}{4}$ Возможны два случая.
Случай 1. Множество решений  — отрезок $[ $\frac{1}{2}$ ; 1 ]$ Тогда точка $x= \frac{1}{2}$ является корнем уравнения $\sqrt{аргумента: x - x ^2} аргумента = 2ax + 0,5 - a$ Нетрудно видеть, что этого не происходит ни при каком a.
Случай 2. Множество решений  — отрезок вида $[ t; t + $\frac{1}{2}$ ]$ где числа t, $t + \frac{1}{2}$ являются корнями уравнения $\sqrt{аргумента: x - x ^2} аргумента = 2ax + 0,5 - a$ Получаем систему

$\{ \beginaligned новая строка $\sqrt{аргумента: t - t ^2}$ аргумента = 2at + 0.5 - a \sqrt{аргумента: t + $\frac{1}{2}$ - ( t + $\frac{1}{2}$ ) ^2} аргумента = 2a ( t + $\frac{1}{2}$ ) + 0,5 - a \endaligned$

Вычитая уравнения, находим $\sqrt{аргумента: t - t ^2} аргумента - \sqrt{аргумента: $\frac{1}{4}$ - t ^2} аргумента =a$

Приведём другое решение.
ОДЗ неравенства  — отрезок $[ 0;1 ]$
Перепишем неравенство в виде $||3 - 4x|| ( $\sqrt{аргумента: x - x ^2}$ аргумента - 2ax - 0.5 + a ) больше или = 0$
Функция в левой части непрерывна. Поэтому множество решений неравенства - объединение нескольких отрезков и точек (точки и концы отрезка - корни функции). Нам нужно, чтобы это множество было одним отрезком длины $0.5$ Заметим, что множество решений неравенства $\sqrt{аргумента: x - x ^2} аргумента - 2ax - 0.5 + a больше или = 0$ отличается от нашего только (возможно) наличием точки $\frac{3}{4}$ Это означает, что точка $\frac{3}{4}$ и так входит в множество решений неравенства $\sqrt{аргумента: x - x ^2} аргумента - 2ax - 0.5 + a больше или = 0$ (иначе получится изолированная точка среди решений исходного неравенства).
Решим теперь уравнение $\sqrt{аргумента: x - x ^2} аргумента - 2ax - 0.5 + a=0$ Преобразуя его, получаем $\sqrt{аргумента: x - x ^2} аргумента =2ax + 0.5 - a$ $( 4a ^2 + 1 ) x ^2 + ( 2a - 4a ^2 - 1 ) x + ( a ^2 - a + 0.25 ) =0$ Корни этого уравнения равны $\frac{1}{2}$ (всегда корень) и $\frac{2a ^2 - 2a + 0.5}{4a ^2 + 1}$ (возможно, посторонний корень). Поэтому множество решений неравенства должно быть отрезком от одной из точек $0, $\frac{1}{2}$ ,1, \frac{2a ^2 - 2a + 0.5}{4a ^2 + 1}$ до другой и содержать точку $\frac{3}{4}$ Значит, точка $0$ на самом деле подходить не должна. Поскольку один из концов отрезка должен совпадать с числом $1$ или $\frac{1}{2}$ а длина отрезка равна $\frac{1}{2}$ возможен только вариант, когда это отрезок $[ $\frac{1}{2}$ ;1 ]$
При $x=1$ имеем $a + 0.5 меньше или = 0$ $a меньше или = - 0.5$ Докажем, что такие a подходят.
При $a= - \frac{1}{2}$ имеем неравенство $\sqrt{аргумента: x - x ^2} аргумента больше или = 1 - 2x$ именно с таким множеством решений.
Заметим, что $2a \cdot $\frac{2a ^2 - 2a + 0.5}{4a ^2 + 1}$ + 0.5 - a= $\frac{ - 2a ^2 + 0.5}{4a ^2 + 1}$ меньше 0$ поэтому корень $\frac{2a ^2 - 2a + 0.5}{4a ^2 + 1}$ был посторонним и на всем промежутке нет других корней функции и поэтому неравенство выполнено на всем промежутке $[ $\frac{1}{2}$ ;1 ]$
При $x принадлежит [ 0; $\frac{1}{2}$ ]$ функция $\sqrt{аргумента: x - x ^2} аргумента$ возрастает, а функция $2ax + 0.5 - a$ убывает. Поскольку в точке $x= \frac{1}{2}$ значения функций равны, до этой точки неравенство не выполнялось.

Ответ: $( - бесконечность ; - 0,5 ]$