Первое уравнение означает, что сумма расстояний от точки $( x;y )$ до точек $( 3; 2 )$ и $( 6;2 )$ равна трем. Поскольку расстояние между ними как раз = трем, точка лежит на соединяющем их отрезке. То есть $y=2, x принадлежит [ 3; 6 ]$ Значит, уравнение $( x - a ) ^2 + ( 2a - 6 ) ^2 = ( a - 3 )$ должно иметь ровно одно решение на отрезке $[ 3; 6 ]$
Для этого нужно, чтобы значения функции $( x - a ) ^2 + ( 2a - 6 ) ^2 - ( a - 3 )$ в точках $3$ и $6$ имели разные знаки, либо чтобы дискриминант уравнения был равен нулю, а корень лежал на отрезке, либо чтобы одно из значений было = нулю, а второй корень уравнения на отрезке не лежал.
Запишем первое условие:

$( 9 - 6a + a ^2 + 4a ^2 - 24a + 36 - a + 3 ) ( 36 - 12a + a ^2 + 4a ^2 - 24a + 36 - a + 3 ) меньше 0 = сильно$

$ = сильно ( 5a ^2 - 31a + 48 ) ( 5a ^2 - 37a + 75 ) меньше 0 = сильно ( a - 3 ) ( 5a - 16 ) ( 5a ^2 - 37a + 75 ) меньше 0\Rightarrow a принадлежит ( 3; 3,2 )$ $ = сильно ( 5a ^2 - 31a + 48 ) ( 5a ^2 - 37a + 75 ) меньше 0 = сильно$
$ = сильно ( a - 3 ) ( 5a - 16 ) ( 5a ^2 - 37a + 75 ) меньше 0\Rightarrow a принадлежит ( 3; 3,2 )$ $ = сильно ( 5a ^2 - 31a + 48 ) ( 5a ^2 - 37a + 75 ) меньше 0 = сильно$
$ = сильно ( a - 3 ) ( 5a - 16 ) ( 5a ^2 - 37a + 75 ) меньше 0\Rightarrow$
$\Rightarrow a принадлежит ( 3; 3,2 )$

Если $a=3$ уравнение принимает вид $( x - 3 ) ^2 =0$ оно имеет один подходящий корень.
Если $a=3,2$ уравнение принимает вид $x ^2 - 6,4a + \ldots$ поэтому его сумма корней равна 6,4. Один из корней равен 6, поэтому второй равен 0,4. Эта ситуация нас устраивает.
Запишем второе условие, приравняв дискриминант к 0:

$( x - a ) ^2 - ( a - 3 ) + 4 ( a - 3 ) ^2 =0 = сильно$ $( a - 3 ) ( 13 - 4a ) =0$

То есть либо $a=3$ (уже разобрано), либо $a=3,25$ (тогда есть один корень, равный 3,25).

Ответ: $[ 3; 3,2 ] \cup \{ 3,25 \}$