Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
$( 16x ^2 - 4 ( a + 1 ) ( x ^3 + x ) + a ( x ^2 + 1 ) ^2 ) \cdot ( ( a - 1 ) x ^2 + 2x + a - 1 ) =0$
имеет ровно четыре корня.
$( 16x ^2 - 4 ( a + 1 ) ( x ^3 + x ) + a ( x ^2 + 1 ) ^2 ) \cdot ( ( a - 1 ) x ^2 + 2x + a - 1 ) =0$
имеет ровно четыре корня.
💡 Пошаговый разбор и решение:
Сразу заметим, что $x ^2 + 1 не = 0$ Разделим уравнение на $( x ^2 + 1 )$ и обозначим $t= \frac{x}{x ^2 + 1}$ Имеем:
$( 16t ^2 - 4 ( a + 1 ) t + a ) ( a - 1 + 2t ) =0 = сильно ( 4t - 1 ) ( 4t - a ) ( 2t + a - 1 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} t= $\frac{1}{4}$ ,t= $\frac{a}{4}$ ,t= $\frac{1 - a}{2}$ . \end{array} \right.$ $( 16t ^2 - 4 ( a + 1 ) t + a ) ( a - 1 + 2t ) =0 = сильно$
$ = сильно ( 4t - 1 ) ( 4t - a ) ( 2t + a - 1 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} t= $\frac{1}{4}$ ,t= $\frac{a}{4}$ ,t= $\frac{1 - a}{2}$ . \end{array} \right.$
Заметим, что уравнение $\frac{x}{x ^2 + 1} =t$ = сильно уравнению $tx ^2 - x + t=0$ и потому имеет один корень при $t=0$ два корня при $D=1 - 4t ^2 больше 0$ (то есть при $t принадлежит ( - $\frac{1}{2}$ ;0 ) \cup ( 0; $\frac{1}{2}$ )$ один корень при $t=\pm \frac{1}{2}$ и не имеет корней при прочих $t$ Кроме того, корни таких уравнений при разных t совпадать не могут. Поэтому $4$ корня у изначального уравнения могут быть в следующих ситуациях.
1. $\frac{1}{4}$ $\frac{a}{4}$ $\frac{1 - a}{2} принадлежит ( - $\frac{1}{2}$ ;0 ) \cup ( 0; $\frac{1}{2}$ )$ и два из них совпадают. Первые совпадают при $a=1$ (тогда третий равен нулю), последние при $a= \frac{2}{3}$ (и все в порядке), первый с последним при $a= \frac{1}{2}$ (и все в порядке). Начиная с этого момента совпадение корней невозможно, эти случаи разобраны.
2. Из чисел $\frac{1}{4}$ $\frac{a}{4}$ $\frac{1 - a}{2}$ ровно одно дает $0$ корней, а остальные по $2$ Первое точно дает $2$ Второе дает $2$ при $a принадлежит ( - 2;0 ) \cup ( 0;2 )$ и не дает корней при $a принадлежит ( - бесконечность ; - 2 ) \cup ( 2; бесконечность )$ Третье дает $2$ при $a принадлежит ( 0;1 ) \cup ( 1;2 )$ и $0$ при $a принадлежит ( - бесконечность ;0 ) \cup ( 1; бесконечность )$ Значит, нам подходит промежуток $( - 2;0 )$
3. Из чисел $\frac{1}{4}$ $\frac{a}{4}$ $\frac{1 - a}{2}$ одно дает два корня (это первое, разумеется), а остальные по одному. Для этого они должны быть в множестве $\{ 0\pm $\frac{1}{2}$ \}$ Это получается при $a=0$ и $a=2$
Ответ: $a принадлежит ( - 2;0 ] \cup \{ $\frac{1}{2}$ ; $\frac{2}{3}$ ;2 \}$
$( 16t ^2 - 4 ( a + 1 ) t + a ) ( a - 1 + 2t ) =0 = сильно ( 4t - 1 ) ( 4t - a ) ( 2t + a - 1 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} t= $\frac{1}{4}$ ,t= $\frac{a}{4}$ ,t= $\frac{1 - a}{2}$ . \end{array} \right.$ $( 16t ^2 - 4 ( a + 1 ) t + a ) ( a - 1 + 2t ) =0 = сильно$
$ = сильно ( 4t - 1 ) ( 4t - a ) ( 2t + a - 1 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} t= $\frac{1}{4}$ ,t= $\frac{a}{4}$ ,t= $\frac{1 - a}{2}$ . \end{array} \right.$
Заметим, что уравнение $\frac{x}{x ^2 + 1} =t$ = сильно уравнению $tx ^2 - x + t=0$ и потому имеет один корень при $t=0$ два корня при $D=1 - 4t ^2 больше 0$ (то есть при $t принадлежит ( - $\frac{1}{2}$ ;0 ) \cup ( 0; $\frac{1}{2}$ )$ один корень при $t=\pm \frac{1}{2}$ и не имеет корней при прочих $t$ Кроме того, корни таких уравнений при разных t совпадать не могут. Поэтому $4$ корня у изначального уравнения могут быть в следующих ситуациях.
1. $\frac{1}{4}$ $\frac{a}{4}$ $\frac{1 - a}{2} принадлежит ( - $\frac{1}{2}$ ;0 ) \cup ( 0; $\frac{1}{2}$ )$ и два из них совпадают. Первые совпадают при $a=1$ (тогда третий равен нулю), последние при $a= \frac{2}{3}$ (и все в порядке), первый с последним при $a= \frac{1}{2}$ (и все в порядке). Начиная с этого момента совпадение корней невозможно, эти случаи разобраны.
2. Из чисел $\frac{1}{4}$ $\frac{a}{4}$ $\frac{1 - a}{2}$ ровно одно дает $0$ корней, а остальные по $2$ Первое точно дает $2$ Второе дает $2$ при $a принадлежит ( - 2;0 ) \cup ( 0;2 )$ и не дает корней при $a принадлежит ( - бесконечность ; - 2 ) \cup ( 2; бесконечность )$ Третье дает $2$ при $a принадлежит ( 0;1 ) \cup ( 1;2 )$ и $0$ при $a принадлежит ( - бесконечность ;0 ) \cup ( 1; бесконечность )$ Значит, нам подходит промежуток $( - 2;0 )$
3. Из чисел $\frac{1}{4}$ $\frac{a}{4}$ $\frac{1 - a}{2}$ одно дает два корня (это первое, разумеется), а остальные по одному. Для этого они должны быть в множестве $\{ 0\pm $\frac{1}{2}$ \}$ Это получается при $a=0$ и $a=2$
Ответ: $a принадлежит ( - 2;0 ] \cup \{ $\frac{1}{2}$ ; $\frac{2}{3}$ ;2 \}$
Правильный ответ:
$a принадлежит левая круглая скобка минус 2;0 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ;2 правая фигурная скобка$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 66453 • Задание №10
Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со...
ID 65950 • Задание №8
[рис.] Функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ определена и непрерывна на полуинтервале $лева...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ. | 4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2
Решение содержит:
− или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи;
− или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ. | 4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2
Решение содержит:
− или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи;
− или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...