Рассмотрим функцию $y=x ^2 + ( a + 4 ) x + 4a$ Это  — парабола, ветви которой направлены вверх. Парабола делит плоскость xOy на две области. Неравенству $y больше или = x ^2 + ( a + 4 ) x + 4a$ согласно условию задачи обязана удовлетворить та из них, которая содержит отрезок AB.
Потребуем одновременного выполнения двух условий: $y ( - 2 ) =4 - 2a - 8 + 4a=2a - 4 меньше или = 0$ и $y ( - 1 ) =1 - a - 4 + 4a=3a - 3 меньше или = 0$ т. е.

$$$\begin{cases} новая строка 2a - 4 меньше или = 0 \\[6pt] новая строка 3a - 3 меньше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка a меньше или = 2 \\[6pt] новая строка a меньше или = 1 \end{cases}$$ . = сильно a меньше или = 1 ( * )$

Прямая $y= - 3x + 2a - 4$ делит плоскость xOy на две полуплоскости. По условию задачи отрезок AB обязан лежать в одной из них. Интересующей нас полуплоскостью будет та, которая содержит как точку A(−2; 0), так и точку B(−1; 0). Отсюда вывод: координаты этих точек обязаны удовлетворять неравенству $0 меньше или = - 3x + 2a - 4$

Решим систему неравенств:

$$$\begin{cases} новая строка 6 + 2a + 4 больше или = 0 \\[6pt] новая строка 3 + 2a + 4 больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 2a больше или = - 10 \\[6pt] новая строка 2a больше или = - 7 \end{cases}$$ . = сильно 2a больше или = - 7 = сильно a больше или = - 3,5 ( ** )$

Пересекая полученные результаты (*) и (**), будем иметь: $ - 3,5 меньше или = a меньше или = 1$

Ответ: $[ - 3,5;1 ]$