Найдите все значения параметра a, при которых система
$$$\begin{cases} x ^2 - 2xy - 3y ^2 =8 \\[6pt] 2x ^2 + 4xy + 5y ^2 =a в степени 4 - 4a ^3 + 4a ^2 - 12 + $\sqrt{аргумента: 105}$ аргумента \end{cases}$$$
имеет хотя бы одно решение.
$$$\begin{cases} x ^2 - 2xy - 3y ^2 =8 \\[6pt] 2x ^2 + 4xy + 5y ^2 =a в степени 4 - 4a ^3 + 4a ^2 - 12 + $\sqrt{аргумента: 105}$ аргумента \end{cases}$$$
имеет хотя бы одно решение.
💡 Пошаговый разбор и решение:
Пусть $a в степени 4 - 4a ^3 + 4a ^2 - 12 + $\sqrt{аргумента: 105}$ аргумента =b$ $x + y=t,x - 3y=u$ Очевидно $y= $\frac{t - u}{4}$ , x= \frac{3t + u}{4}$ поэтому если новая система имеет решение, то и старая тоже (и наоборот). Тогда имеем систему
$$$\begin{cases} tu=8 \\[6pt] 2t ^2 + $\frac{3 ( t - u ) ^2}{16}$ =b. \end{cases}$$$
Второе уравнение дает: $35t ^2 + 3u ^2 - 48=16b$
То есть $35t ^2 + 3u ^2 =16b + 48$ Во-первых, это означает, что $b больше или = - 3$ А во-вторых, выражая u из первого уравнения, находим $35t ^2 + $\frac{3 \cdot 64}{t ^2}$ =16b + 48$ Если у этого уравнения есть корень, то есть и решение у системы.
Функция $f ( t ) =35t ^2 + \frac{192}{t ^2}$ четна и стремится к бесконечности при $tarrow + бесконечность$ или при $tarrow 0$ Остается лишь найти ее наименьшее значение на положительной полуоси. Для этого приравняем к нулю ее производную.
$70t - $\frac{384}{t ^3}$ =0$ $t= корень 4 степени из: начало аргумента: $\frac{192}{35}$ конец аргумента$ $f ( t ) =35 \sqrt{аргумента: $\frac{192}{35}$} аргумента + \frac{192}{$\frac{192,}{35}$} =16 $\sqrt{аргумента: 105}$ аргумента$
Поэтому необбходимо и достаточно, чтобы $16b + 48 больше или = 16 $\sqrt{аргумента: 105}$ аргумента$
$b + 3 больше или = $\sqrt{аргумента: 105}$ аргумента = сильно a в степени 4 - 4a ^3 + 4a ^2 - 9 + $\sqrt{аргумента: 105}$ аргумента больше или = $\sqrt{аргумента: 105}$ аргумента = сильно ( a ^2 - 2a ) ^2 - 9 больше или = 0 = сильно$ $b + 3 больше или = $\sqrt{аргумента: 105}$ аргумента = сильно a в степени 4 - 4a ^3 + 4a ^2 - 9 + $\sqrt{аргумента: 105}$ аргумента больше или = $\sqrt{аргумента: 105}$ аргумента = сильно$
$ = сильно ( a ^2 - 2a ) ^2 - 9 больше или = 0 = сильно$ $b + 3 больше или = $\sqrt{аргумента: 105}$ аргумента = сильно$
$ = сильно a в степени 4 - 4a ^3 + 4a ^2 - 9 + $\sqrt{аргумента: 105}$ аргумента больше или = $\sqrt{аргумента: 105}$ аргумента = сильно$
$ = сильно ( a ^2 - 2a ) ^2 - 9 больше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( a ^2 - 2a + 3 ) ( a + 1 ) ( a - 3 ) больше или = 0 = сильно a принадлежит ( - бесконечность ; - 1 ] \cup [ 3; бесконечность )$
Ответ: $( - бесконечность ; - 1 ] \cup [ 3; бесконечность )$
$$$\begin{cases} tu=8 \\[6pt] 2t ^2 + $\frac{3 ( t - u ) ^2}{16}$ =b. \end{cases}$$$
Второе уравнение дает: $35t ^2 + 3u ^2 - 48=16b$
То есть $35t ^2 + 3u ^2 =16b + 48$ Во-первых, это означает, что $b больше или = - 3$ А во-вторых, выражая u из первого уравнения, находим $35t ^2 + $\frac{3 \cdot 64}{t ^2}$ =16b + 48$ Если у этого уравнения есть корень, то есть и решение у системы.
Функция $f ( t ) =35t ^2 + \frac{192}{t ^2}$ четна и стремится к бесконечности при $tarrow + бесконечность$ или при $tarrow 0$ Остается лишь найти ее наименьшее значение на положительной полуоси. Для этого приравняем к нулю ее производную.
$70t - $\frac{384}{t ^3}$ =0$ $t= корень 4 степени из: начало аргумента: $\frac{192}{35}$ конец аргумента$ $f ( t ) =35 \sqrt{аргумента: $\frac{192}{35}$} аргумента + \frac{192}{$\frac{192,}{35}$} =16 $\sqrt{аргумента: 105}$ аргумента$
Поэтому необбходимо и достаточно, чтобы $16b + 48 больше или = 16 $\sqrt{аргумента: 105}$ аргумента$
$b + 3 больше или = $\sqrt{аргумента: 105}$ аргумента = сильно a в степени 4 - 4a ^3 + 4a ^2 - 9 + $\sqrt{аргумента: 105}$ аргумента больше или = $\sqrt{аргумента: 105}$ аргумента = сильно ( a ^2 - 2a ) ^2 - 9 больше или = 0 = сильно$ $b + 3 больше или = $\sqrt{аргумента: 105}$ аргумента = сильно a в степени 4 - 4a ^3 + 4a ^2 - 9 + $\sqrt{аргумента: 105}$ аргумента больше или = $\sqrt{аргумента: 105}$ аргумента = сильно$
$ = сильно ( a ^2 - 2a ) ^2 - 9 больше или = 0 = сильно$ $b + 3 больше или = $\sqrt{аргумента: 105}$ аргумента = сильно$
$ = сильно a в степени 4 - 4a ^3 + 4a ^2 - 9 + $\sqrt{аргумента: 105}$ аргумента больше или = $\sqrt{аргумента: 105}$ аргумента = сильно$
$ = сильно ( a ^2 - 2a ) ^2 - 9 больше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( a ^2 - 2a + 3 ) ( a + 1 ) ( a - 3 ) больше или = 0 = сильно a принадлежит ( - бесконечность ; - 1 ] \cup [ 3; бесконечность )$
Ответ: $( - бесконечность ; - 1 ] \cup [ 3; бесконечность )$
Правильный ответ:
$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3; бесконечность правая круглая скобка$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 64610 • Задание №2
На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и попросил залить бензин до полного бака. Цена бензина 31 руб...
ID 71105 • Задание №18
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$2 корень из: начало аргумента: x в степени 4 плюс ле...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ. | 4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2
Решение содержит:
− или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи;
− или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ. | 4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2
Решение содержит:
− или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи;
− или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...