При каких значениях параметра a система уравнений
$$$\begin{cases} ( x ^2 + ( y - 7 ) ^2 - 9 ) ( ( x - 4 ) ^2 + ( y - 3 ) ^2 - 1 ) =0 \\[6pt] ax - y - 4a - 2=0 \end{cases}$$$
имеет четыре решения?
$$$\begin{cases} ( x ^2 + ( y - 7 ) ^2 - 9 ) ( ( x - 4 ) ^2 + ( y - 3 ) ^2 - 1 ) =0 \\[6pt] ax - y - 4a - 2=0 \end{cases}$$$
имеет четыре решения?
💡 Пошаговый разбор и решение:
Изобразим на плоскости точки, подходящие в первое уравнение. Они должны обнулять одну из скобок, то есть либо лежать на окружности радиуса $3$ с центром в $( 0;7 )$ либо на окружности радиуса $1$ с центром в $( 4;3 )$ Сразу заметим, что расстояние между центрами окружностей составляет $\sqrt{аргумента: 32} аргумента больше 1 + 3$ поэтому окружности не пересекаются. Значит, для существования четырех решений прямая $ax - y - 4a - 2$ должна иметь с каждой окружностью ровно две общие точки. То есть расстояние от центра каждой окружности до прямой должно быть меньше радиуса. Получаем систему неравенств
$\{ \beginaligned новая строка \frac{| - 7 - 4a - 2|}{$\sqrt{аргумента: a ^2 + 1}$ аргумента} меньше 3, новая строка \frac{|4a - 3 - 4a - 2|}{$\sqrt{аргумента: a ^2 + 1}$ аргумента} меньше 1 \endaligned . = сильно \{ \beginaligned новая строка \frac{|4a + 9|}{$\sqrt{аргумента: a ^2 + 1}$ аргумента} меньше 3, новая строка \frac{5}{$\sqrt{аргумента: a ^2 + 1}$ аргумента} меньше 1 \endaligned . = сильно \{ \beginaligned новая строка |4a + 9| меньше 3 $\sqrt{аргумента: a ^2 + 1}$ аргумента , новая строка 5 меньше $\sqrt{аргумента: a ^2 + 1}$ аргумента \endaligned . = сильно$ $\{ \beginaligned новая строка \frac{| - 7 - 4a - 2|}{$\sqrt{аргумента: a ^2 + 1}$ аргумента} меньше 3, новая строка \frac{|4a - 3 - 4a - 2|}{$\sqrt{аргумента: a ^2 + 1}$ аргумента} меньше 1 \endaligned . = сильно \{ \beginaligned новая строка \frac{|4a + 9|}{$\sqrt{аргумента: a ^2 + 1}$ аргумента} меньше 3, новая строка \frac{5}{$\sqrt{аргумента: a ^2 + 1}$ аргумента} меньше 1 \endaligned . = сильно$
$ = сильно \{ \beginaligned новая строка |4a + 9| меньше 3 $\sqrt{аргумента: a ^2 + 1}$ аргумента , новая строка 5 меньше $\sqrt{аргумента: a ^2 + 1}$ аргумента \endaligned . = сильно$
$ = сильно \{ \beginaligned 16a ^2 + 72a + 81 меньше 9a ^2 + 9, 25 меньше a ^2 + 1 \endaligned . = сильно \{ \beginaligned 7a ^2 + 72a + 72 меньше 0, 24 меньше a ^2 \endaligned . = сильно \{ \beginaligned a принадлежит ( \frac{ - 36 - 6 $\sqrt{аргумента: 22}$ аргумента}{7} ; \frac{ - 36 + 6 $\sqrt{аргумента: 22}$ аргумента}{7} ) , a принадлежит ( бесконечность ; - $\sqrt{аргумента: 24}$ аргумента ) \cup ( $\sqrt{аргумента: 24}$ аргумента ; бесконечность ) . \endaligned$ $ = сильно \{ \beginaligned 16a ^2 + 72a + 81 меньше 9a ^2 + 9, 25 меньше a ^2 + 1 \endaligned . = сильно \{ \beginaligned 7a ^2 + 72a + 72 меньше 0, 24 меньше a ^2 \endaligned . = сильно$
$ = сильно \{ \beginaligned a принадлежит ( \frac{ - 36 - 6 $\sqrt{аргумента: 22}$ аргумента}{7} ; \frac{ - 36 + 6 $\sqrt{аргумента: 22}$ аргумента}{7} ) , a принадлежит ( бесконечность ; - $\sqrt{аргумента: 24}$ аргумента ) \cup ( $\sqrt{аргумента: 24}$ аргумента ; бесконечность ) . \endaligned$ $ = сильно \{ \beginaligned 16a ^2 + 72a + 81 меньше 9a ^2 + 9, 25 меньше a ^2 + 1 \endaligned . = сильно$
$ = сильно \{ \beginaligned 7a ^2 + 72a + 72 меньше 0, 24 меньше a ^2 \endaligned . = сильно$
$ = сильно \{ \beginaligned a принадлежит ( \frac{ - 36 - 6 $\sqrt{аргумента: 22}$ аргумента}{7} ; \frac{ - 36 + 6 $\sqrt{аргумента: 22}$ аргумента}{7} ) , a принадлежит ( бесконечность ; - $\sqrt{аргумента: 24}$ аргумента ) \cup ( $\sqrt{аргумента: 24}$ аргумента ; бесконечность ) . \endaligned$
Очевидно все a, подходящие в первое неравенство, отрицательны, к тому же $\frac{ - 36 - 6 $\sqrt{аргумента: 22}$ аргумента}{7} меньше - $\frac{36}{7}$ меньше - $\sqrt{аргумента: 24}$ аргумента$ Это дает окончательный ответ $a принадлежит ( \frac{ - 36 - 6 $\sqrt{аргумента: 22}$ аргумента}{7} ; - $\sqrt{аргумента: 24}$ аргумента )$
Ответ: $( \frac{ - 36 - 6 $\sqrt{аргумента: 22}$ аргумента}{7} ; - $\sqrt{аргумента: 24}$ аргумента )$
$\{ \beginaligned новая строка \frac{| - 7 - 4a - 2|}{$\sqrt{аргумента: a ^2 + 1}$ аргумента} меньше 3, новая строка \frac{|4a - 3 - 4a - 2|}{$\sqrt{аргумента: a ^2 + 1}$ аргумента} меньше 1 \endaligned . = сильно \{ \beginaligned новая строка \frac{|4a + 9|}{$\sqrt{аргумента: a ^2 + 1}$ аргумента} меньше 3, новая строка \frac{5}{$\sqrt{аргумента: a ^2 + 1}$ аргумента} меньше 1 \endaligned . = сильно \{ \beginaligned новая строка |4a + 9| меньше 3 $\sqrt{аргумента: a ^2 + 1}$ аргумента , новая строка 5 меньше $\sqrt{аргумента: a ^2 + 1}$ аргумента \endaligned . = сильно$ $\{ \beginaligned новая строка \frac{| - 7 - 4a - 2|}{$\sqrt{аргумента: a ^2 + 1}$ аргумента} меньше 3, новая строка \frac{|4a - 3 - 4a - 2|}{$\sqrt{аргумента: a ^2 + 1}$ аргумента} меньше 1 \endaligned . = сильно \{ \beginaligned новая строка \frac{|4a + 9|}{$\sqrt{аргумента: a ^2 + 1}$ аргумента} меньше 3, новая строка \frac{5}{$\sqrt{аргумента: a ^2 + 1}$ аргумента} меньше 1 \endaligned . = сильно$
$ = сильно \{ \beginaligned новая строка |4a + 9| меньше 3 $\sqrt{аргумента: a ^2 + 1}$ аргумента , новая строка 5 меньше $\sqrt{аргумента: a ^2 + 1}$ аргумента \endaligned . = сильно$
$ = сильно \{ \beginaligned 16a ^2 + 72a + 81 меньше 9a ^2 + 9, 25 меньше a ^2 + 1 \endaligned . = сильно \{ \beginaligned 7a ^2 + 72a + 72 меньше 0, 24 меньше a ^2 \endaligned . = сильно \{ \beginaligned a принадлежит ( \frac{ - 36 - 6 $\sqrt{аргумента: 22}$ аргумента}{7} ; \frac{ - 36 + 6 $\sqrt{аргумента: 22}$ аргумента}{7} ) , a принадлежит ( бесконечность ; - $\sqrt{аргумента: 24}$ аргумента ) \cup ( $\sqrt{аргумента: 24}$ аргумента ; бесконечность ) . \endaligned$ $ = сильно \{ \beginaligned 16a ^2 + 72a + 81 меньше 9a ^2 + 9, 25 меньше a ^2 + 1 \endaligned . = сильно \{ \beginaligned 7a ^2 + 72a + 72 меньше 0, 24 меньше a ^2 \endaligned . = сильно$
$ = сильно \{ \beginaligned a принадлежит ( \frac{ - 36 - 6 $\sqrt{аргумента: 22}$ аргумента}{7} ; \frac{ - 36 + 6 $\sqrt{аргумента: 22}$ аргумента}{7} ) , a принадлежит ( бесконечность ; - $\sqrt{аргумента: 24}$ аргумента ) \cup ( $\sqrt{аргумента: 24}$ аргумента ; бесконечность ) . \endaligned$ $ = сильно \{ \beginaligned 16a ^2 + 72a + 81 меньше 9a ^2 + 9, 25 меньше a ^2 + 1 \endaligned . = сильно$
$ = сильно \{ \beginaligned 7a ^2 + 72a + 72 меньше 0, 24 меньше a ^2 \endaligned . = сильно$
$ = сильно \{ \beginaligned a принадлежит ( \frac{ - 36 - 6 $\sqrt{аргумента: 22}$ аргумента}{7} ; \frac{ - 36 + 6 $\sqrt{аргумента: 22}$ аргумента}{7} ) , a принадлежит ( бесконечность ; - $\sqrt{аргумента: 24}$ аргумента ) \cup ( $\sqrt{аргумента: 24}$ аргумента ; бесконечность ) . \endaligned$
Очевидно все a, подходящие в первое неравенство, отрицательны, к тому же $\frac{ - 36 - 6 $\sqrt{аргумента: 22}$ аргумента}{7} меньше - $\frac{36}{7}$ меньше - $\sqrt{аргумента: 24}$ аргумента$ Это дает окончательный ответ $a принадлежит ( \frac{ - 36 - 6 $\sqrt{аргумента: 22}$ аргумента}{7} ; - $\sqrt{аргумента: 24}$ аргумента )$
Ответ: $( \frac{ - 36 - 6 $\sqrt{аргумента: 22}$ аргумента}{7} ; - $\sqrt{аргумента: 24}$ аргумента )$
Правильный ответ:
$левая круглая скобка дробь: числитель: минус 36 минус 6 корень из: начало аргумента: 22 конец аргумента , знаменатель: 7 конец дроби ; минус корень из: начало аргумента: 24 конец аргумента правая круглая скобка$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 71535 • Задание №19
Рассматриваются прямоугольные треугольники, в которых длины всех сторон являются натуральными числами.
а) Дли...
ID 66381 • Задание №9
Трактор тащит сани с силой $F=80$ кН, направленной под острым углом $альфа$ к горизонту. Работа трактора (в ки...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ. | 4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2
Решение содержит:
− или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи;
− или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ. | 4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2
Решение содержит:
− или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи;
− или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...