Поскольку $x|x| больше или = 0$ то и $x больше или = 0$ поэтому $|x|=x$ Значит, первое уравнение примет вид:

$( 3x + |y| - 3 ) ( x + 3|y| - 9 ) =0$

Заметим далее, что если числа x и y подходят в систему, то и числа x и $ - y$ тоже подходят. Поэтому все решения разбиваются на пары, кроме тех, в которых $y=0$   — они пары к самим себе. Значит, количество решений четно, если только среди решений нет такой пары. Поэтому в нашем случае она есть. Если $y=0$ то первое уравнение принимает вид

$( 3x - 3 ) ( x - 9 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x=1,x=9. \end{array} \right.$

Тогда $( 1 - a ) ^2 =25$ или $( 9 - a ) ^2 =25$ откуда $a=6$ $a= - 4$ $a=4$ $a=14$
Осталось проверить, верно ли, что в каждом из этих случаев кроме решения с $y=0$ есть еще ровно одна пара решений, то есть ровно одно решение, в котором y положительно (или еще два решения с $y=0$ но это невозможно  — все решения с $y=0$ возникают при разных a). Разберем случаи.
1.  Имеем $a=6$ Тогда:

$( 3x + y - 3 ) ( x + 3y - 9 ) =0$ и $( x - 6 ) ^2 + y ^2 =25$

Если $y=3 - 3x$ получаем уравнение:

$( x - 6 ) ^2 + ( 3 - 3x ) ^2 =25 = сильно 10x ^2 - 30x + 20=0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x=1,x=2 \end{array} \right.$

откуда $y=0$ или $y= - 3$ (невозможно).
Если $x=9 - 3y$ получаем уравнение:

$( 3 - 3y ) ^2 + y ^2 =25 = сильно 10y ^2 - 18y - 16=0 = сильно y= \frac{9 + $\sqrt{аргумента: 241}$ аргумента}{10} принадлежит ( 0;3 )$

поэтому $x больше 0$ Второе возможное y отрицательно и мы получаем ровно три корня.
2.  Имеем $a= - 4$ Тогда:

$( 3x + y - 3 ) ( x + 3y - 9 ) =0$ и $( x + 4 ) ^2 + y ^2 =25$

Если $y=3 - 3x$ получаем уравнение:

$( x + 4 ) ^2 + ( 3 - 3x ) ^2 =25 = сильно 10x ^2 - 10x=0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x=1,x=0, \end{array} \right.$

откуда $y=0$ или $y=3$ Это уже три решения.
Если $x=9 - 3y$ получаем уравнение:

$( 13 - 3y ) ^2 + y ^2 =25 = сильно 10y ^2 - 78y + 144=0 = сильно \left[ \begin{array}{l} y=3,y=3,6, \end{array} \right.$

поэтому $x=0$ (это решение уже учтено) или $x меньше 0$
3.  Имеем $a=4$ Тогда:

$( 3x + y - 3 ) ( x + 3y - 9 ) =0$ и $( x - 4 ) ^2 + y ^2 =25$

Если $y=3 - 3x$ получаем уравнение:

$( x - 4 ) ^2 + ( 3 - 3x ) ^2 =25 = сильно 10x ^2 - 26x=0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x= $\frac{13}{5}$ ,x=0, \end{array} \right.$

откуда $y меньше 0$ или $y=3$
Если $x=9 - 3y$ получаем уравнение:

$( 5 - 3y ) ^2 + y ^2 =25 = сильно 10y ^2 - 30y=0 = сильно \left[ \begin{array}{l} y=3,y=0, \end{array} \right.$

поэтому $x=0$ (это решение уже учтено) или $x=9$ Итого ровно три корня.
4.  Имеем $a=14$ Тогда:

$( 3x + y - 3 ) ( x + 3y - 9 ) =0$ и $( x - 14 ) ^2 + y ^2 =25$

Если $y=3 - 3x$ получаем уравнение:

$( x - 14 ) ^2 + ( 3 - 3x ) ^2 =25 = сильно 10x ^2 - 46x + 180=0$   — нет корней.

Если $x=9 - 3y$ получаем уравнение:

$( 5 + 3y ) ^2 + y ^2 =25 = сильно 10y ^2 + 30y=0 = сильно \left[ \begin{array}{l} y=0,y= - 3 меньше 0 ( невозможно ) , \end{array} \right.$

поэтому $x=9$ и это единственное решение.

Ответ: $a=6$ $a=4$ $a= - 4$