Первое уравнение можно записать в виде

$( y - x ^2 + 4 ) ( y - $\sqrt{аргумента: 2|x| - x ^2}$ аргумента ) =0$

Выражая y из второго уравнения и подставляя в это, получим:

$( 2x + a - x ^2 + 4 ) ( 2x + a - $\sqrt{аргумента: 2|x| - x ^2}$ аргумента ) =0$

должно иметь три корня. Отметим сразу, что

$2|x| - x ^2 =|x| ( 2 - |x| ) больше или = 0$

откуда $x принадлежит [ - 2;2 ]$ Итак, мы ищем корни лишь на этом промежутке. Одна из скобок должна быть равна нулю. Выясним сразу, при каких a есть x, обнуляющее обе скобки. Для это нужно, чтобы $x ^2 - 4= $\sqrt{аргумента: 2|x| - x ^2}$ аргумента$ Но при $x принадлежит ( - 2;2 )$ левая часть отрицательна, а правая неотрицательна. Поэтому такое возможно лишь при $x=\pm 2$ и, соответственно, при $y=0$ и $a=\pm 4$
Запишем первое уравнение  — $x ^2 - 2x - 4=a$ Если построить график $x ^2 - 2x - 4$ то мы получим параболу с вершиной в $( 1; - 5 )$ и нас будет интересовать количество ее пересечений с прямой $y=a$ над отрезком $[ - 2;2 ]$ Из картинки виден ответ:
  — при $a меньше - 5$ нет решений;
  — при $a= - 5$ 1 решение;
  — при $a принадлежит ( - 5; - 4 ]$ 2 решения;
  — при $a принадлежит ( - 4;4 ]$ 1 решение;
  — при $a больше 4$ нет решений.
Запишем второе уравнение  — $\sqrt{аргумента: 2|x| - x ^2} аргумента =a + 2x$ Если $x больше 0$ то график $y= $\sqrt{аргумента: 2|x| - x ^2}$ аргумента$ можно построить, преобразовав уравнение к виду $y ^2 =2x - x ^2$ $( x - 1 ) ^2 + y ^2 =1$ Значит, это будет верхняя полуокружность с центром в $( 1;0 )$ и радиусом 1 (полуокружность, поскольку $y больше или = 0$ ). Если поменять знак у x, уравнение не изменится, поэтому можно сразу отразить эту полуокружность относительно вертикальной оси. Нас будет интересовать пересечение этих двух полуокружностей с параллельными прямыми вида $y=2x + a$ Ясно, что при $a меньше - 4$ пересечений нет, при $a принадлежит [ - 4;0 )$ одно решение, при $a=0$ 2 решения, при $a больше 0$ до момента касания с правой полуокружностью три решения, при касании два решения, далее до $a=4$ одно решение, при $a больше или = 4$ до момента касания с левой полуокружностью два решения, при касании одно решение, дальше решений нет.
Совмещая эти решения с решениями первого уравнения, получаем:
  — при $a меньше - 5$ нет решений;
  — при $a= - 5$ 1 решение;
  — при $a принадлежит ( - 5; - 4 )$ 2 решения;
  — при $a= - 4$ 2 решения (кажется, что 3, но два решения совпадают);
  — при $a принадлежит ( - 4;0 ]$ 2 решения $( 1 + 1 )$
  — при $a=0$ 3 решения $( 1 + 2 )$
  — при $a больше 0$ до ситуации касания 4 решения $( 1 + 3 )$
  — в ситуации касания 3 решения $( 1 + 2 )$
  — от касания при $a меньше 4$ 2 решения $( 1 + 1 )$
  — при $a=4$ 2 решения (кажется, что 3, но два решения совпадают);
  — при $a больше 4$ не более двух решений  — все у второго уравнения.
Осталось найти, при каком a прямая $2x - y + a=0$ касается правой полуокружности. То есть расстояние от $( 1;0 )$ до этой прямой = радиусу окружности. Имеем:

$\frac{|2 - 0 + a|}{$\sqrt{аргумента: 4 + 1}$ аргумента} =1 = сильно |a + 2|= $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента = сильно a= - 2\pm $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$

Ясно, что нужное нам a положительно, поэтому $a= $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента - 2$ Второй ответ соответствует касательной, которая касается ненарисованной на нашей картинке нижней полуокружности.
Окончательно, $a=0$ или $a= $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента - 2$

Ответ: $a=0$ или $a= $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента - 2$