Исходная система = сильна совокупности:

$\left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} x + 2 y - a - 6=0 \\[6pt] 6 y - y ^2 - x ^2 больше или = 0 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} y ^2 + ( x - 4 ) ^2 - a ^2 =0 \\[6pt] 6 y - y ^2 - x ^2 =0 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} y= - $\frac{x}{2}$ + $\frac{a}{2}$ + 3 \\[6pt] x ^2 + ( y - 3 ) ^2 меньше или = 3 ^2 \end{cases}$$ . ( 1 ) $$\begin{cases} ( x - 4 ) ^2 + y ^2 = a ^2 \\[6pt] x ^2 + ( y - 3 ) ^2 =3 ^2 . \end{cases}$$ . ( 2 ) \end{array} \right.$

[рис.] Изобразим графики полученных систем уравнений и неравенства в одной системе координат. Решением неравенства является круг $\omega$ радиуса 3 с центром в точке $( 0; 3 )$ (см. рис.) Определим, при каких значениях параметра системы совместно имеют ровно два решения.
Рассмотрим систему (1). Прямая $y= - $\frac{x}{2}$ + $\frac{a}{2}$ + 3$ может иметь одну общую точку с кругом $\omega$ (при $a=a_1$ или $a=a_2$ ), может не иметь общих точек с кругом $\omega$ (при $a меньше a_1$ или $a больше a_2$ ) или может иметь бесконечно много общих точек с кругом $\omega$ при $a_1 меньше a меньше a_2$ Определим, какие значения параметра соответствуют касанию окружности и прямой. Расстояние от точки $( 3; 0 )$ до прямой $x + 2 y - a - 6=0$ должно равняться $R=3:$

$\frac{|1 \cdot 0 + 2 \cdot 3 - a - 6|}{$\sqrt{аргумента: 1 ^2 + 2 ^2}$ аргумента} =3 = сильно | - a|=3 $\sqrt{5}$ = сильно a= \pm 3 \sqrt{5}$

Таким образом, $a_1= - 3 \sqrt{5}$ $a_2= 3 \sqrt{5}$
Рассмотрим систему (2). Окружность, задаваемая первым уравнением, может иметь с окружностью $\omega$ задаваемой вторым уравнением, 0, 1 или 2 общие точки. Определим, какие значения параметра соответствуют касанию двух окружностей.
Из прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 находим, что расстояние между центрами окружностей = 5. Значит, у окружности $\omega_1$ радиус $|a|$ равен 2, откуда $a= \pm 2$ а у окружности $\omega_3$ радиус $|a|$ равен 8, откуда $a= \pm 8$ Таким образом, система (2):
  — не имеет решений при $a меньше - 8$ $ - 2 меньше a меньше 2$ и при $a больше 8$
  — имеет одно решение при $a=\pm 2$ и при $a=\pm 8$
  — имеет два решения при $ - 8 меньше a меньше - 2$ и при $2 меньше a меньше 8$
Сведём результаты в таблицу.

Значение параметра
Количество решений
системы (1)
Количество решений
системы (2)

$a меньше - 8$
0
0

$a= - 8$
0
1

$ - 8 меньше a меньше - 3 \sqrt{5}$
0
2

$a= - 3 \sqrt{5}$
1
2

$ - 3 $\sqrt{5}$ меньше a меньше 3 \sqrt{5}$
бесконечное число решений
...

$a=3 \sqrt{5}$
1
2

$3 $\sqrt{5}$ меньше a меньше 8$
0
2

$a=8$
0
1

$a больше 8$
0
0

Выясним, не является ли решение системы (1) при $a= \pm 3 \sqrt{5}$ решением системы (2). Найдём решение системы (1) при $a= \pm 3 \sqrt{5}$   — координаты точек A и B:

$$$\begin{cases} - \frac{x}2 + $\frac{a}{2}$ + 3=2x + 3 \\[6pt] y=2x + 3 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x= $\frac{a}{5}$ \\[6pt] y= \frac{{}{2} a \\[6pt] }{5} + 3. \end{cases}$$$

Тогда при $a=3 \sqrt{5}$ получаем точку $A ( \frac{3 $\sqrt{5}$}{5} ; \frac{6 $\sqrt{5}$}{5} + 3 )$ а при $a= - 3 \sqrt{5}$ получаем точку $B ( - \frac{3 $\sqrt{5}$}{5} ; - \frac{6 $\sqrt{5}$}{5} + 3 )$ Подставим найденные решения в первое уравнение системы (2):

$( \frac{3 $\sqrt{5}$}{5} - 4 ) ^2 + ( \frac{6 $\sqrt{5}$}{5} + 3 ) ^2 = ( 3 $\sqrt{5}$ ) ^2$   — неверно,
$( - \frac{3 $\sqrt{5}$}{10} - 4 ) ^2 + ( - \frac{3 $\sqrt{5}$}{5} + 3 ) ^2 = ( - 3 $\sqrt{5}$ ) ^2$   — неверно.

Значит, при $a= \pm 3 \sqrt{5}$ решение системы (1) не является решением системы (2), и при этих значениях параметра исходная система имеет три решения. Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при $ - 8 меньше a меньше - 3 \sqrt{5}$ или при $3 $\sqrt{5}$ меньше a меньше 8$

Ответ: $( - 8; - 3 $\sqrt{5}$ ) \cup ( 3 $\sqrt{5}$ ; 8 )$