На доске написаны числа 2 и 3. За один ход из них можно получить числа a + b и 2a − 1 или числа a + b и 2b − 1 (например, из чисел 2 и 3 можно получить числа 5 и 3 или 5 и 5).
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из чисел, написанных на доске, окажется числом 19.
б) Может ли после 100 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 200?
в) Сделали 1007 ходов, причем на доске никогда не было равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из чисел, написанных на доске, окажется числом 19.
б) Может ли после 100 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 200?
в) Сделали 1007 ходов, причем на доске никогда не было равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Например, (2; 3), (5; 5), (10; 9), (19; 19) или (2; 3), (5; 5), (10; 9), (19; 17).
б) Заметим, что минимальное возможное число после первого хода — 3, при дальнейших ходах минимальное возможное увеличение числа за один ход не меньше 2. Таким образом, минимальное возможное число после 100 ходов не меньше $3 + 2 \cdot 99=201$ что больше 200.
в) Исходные числа 2 и 3 отличаются на 1 — имеют вид a и $a + 1$ Из них можно получить равные числа $2a + 1$ и $2a + 1$ что не разрешается, или числа, отличающиеся на 2: $2a - 1$ и $2a + 1$ Кроме того, если получать равные числа запрещено, то после нечетного хода всегда будет получаться пара нечетных чисел, а после четного хода — четное и нечетное. Ход 1007 — нечетный, значит, после него получилось два нечетных числа. Минимальная возможная разность двух различных нечетных чисел равна 2. Покажем, что такую разницу получить возможно:
(2; 3), (3; 5), (8; 9), (15; 17), (32; 33), ... или $( a; a + 1 )$ $( 2a - 1; 2a + 1 )$ $( 4a; 4a + 1 )$ $( 8a - 1; 8a + 1 )$
Таким образом, наименьшая разность, которую можно получить за 1007 ходов, равна 2.
Ответ: а) (2; 3), (5; 5), (10; 9), (19; 19); б) нет; в) 2.
б) Заметим, что минимальное возможное число после первого хода — 3, при дальнейших ходах минимальное возможное увеличение числа за один ход не меньше 2. Таким образом, минимальное возможное число после 100 ходов не меньше $3 + 2 \cdot 99=201$ что больше 200.
в) Исходные числа 2 и 3 отличаются на 1 — имеют вид a и $a + 1$ Из них можно получить равные числа $2a + 1$ и $2a + 1$ что не разрешается, или числа, отличающиеся на 2: $2a - 1$ и $2a + 1$ Кроме того, если получать равные числа запрещено, то после нечетного хода всегда будет получаться пара нечетных чисел, а после четного хода — четное и нечетное. Ход 1007 — нечетный, значит, после него получилось два нечетных числа. Минимальная возможная разность двух различных нечетных чисел равна 2. Покажем, что такую разницу получить возможно:
(2; 3), (3; 5), (8; 9), (15; 17), (32; 33), ... или $( a; a + 1 )$ $( 2a - 1; 2a + 1 )$ $( 4a; 4a + 1 )$ $( 8a - 1; 8a + 1 )$
Таким образом, наименьшая разность, которую можно получить за 1007 ходов, равна 2.
Ответ: а) (2; 3), (5; 5), (10; 9), (19; 19); б) нет; в) 2.
Правильный ответ:
а) (2; 3), (5; 5), (10; 9), (19; 19); б) нет; в) 2
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 69112 • Задание №15
Решите неравенство $|x минус 2| в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 4 левая круглая скобка x ...
ID 66639 • Задание №10
Через середину диагонали куба проведена плоскость перпендикулярно этой диагонали. Найти отношение площади сече...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующий результатов:
― обоснованное решение в п. а;
― пример в п. б;
― искомая оценка в п. в;
― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующий результатов:
― обоснованное решение в п. а;
― пример в п. б;
― искомая оценка в п. в;
― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...