Математика. Профильный уровень

Пусть данное число = 100a + 10b + c, где a, b и c  — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его цифр = k, то выполнено $100a + 10b + c = ka + kb + kc$
а)  Если частное = $90$ то $100a + 10b + c=90a + 90b + 90c$ $10a=80b + 89c$ что верно, например, при $c=0,b=1, a=8$   — частное числа $810$ и суммы его цифр = $90$
б)  Если частное = $88$ то $100a + 10b + c=88a + 88b + 88c = сильно 12a=78b + 87c = сильно 4a=26b + 29c$ Так как a a, удовлетворяющего уравнению. Значит, частное трёхзначного числа и суммы его цифр не может быть равным 88.
в)  Пусть k  — наибольшее натуральное значение частного числа, не кратного $100$ и суммы его цифр. Тогда

$100a + 10b + c=ka + kb + kc = сильно ( 100 - k ) a= ( k - 10 ) b + ( k - 1 ) c$

Учитывая, что $b + c больше 0$ получаем:

$9 ( 100 - k ) больше или = ( 100 - k ) a= ( k - 10 ) b + ( k - 1 ) c больше или = ( k - 10 ) ( b + c ) больше или = k - 10$ $9 ( 100 - k ) больше или = ( 100 - k ) a= ( k - 10 ) b + $
$ + ( k - 1 ) c больше или = ( k - 10 ) ( b + c ) больше или = k - 10$

откуда $9 ( 100 - k ) больше или = k - 10 = сильно 10k\leqslant910 = сильно k\leqslant91$
Частное числа $910$ и суммы его цифр = $91$ Значит, наибольшее натуральное значение частного трёхзначного числа, не кратного $100$ и суммы его цифр =  91.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  91.

а)  Каждая из двух девочек могла выиграть оба раза у всех троих мальчиков, получив в сумме 6 очков. Сыграв две партии друг с другом, девочки распределили между собой ещё 2 очка. Всего $6 + 6 + 2=14$ очков.
б)  Играя по две партии каждый с каждым, десять детей играют всего $2 \cdot $\frac{9 \cdot 10}{2}$ =90$ партий. В каждой партии вне зависимости от её исхода разыгрывается одно очко. Поэтому всего набрано 90 очков.
в)  Всего детей было $7d + d=8d$ играя по две партии каждый с каждым они сыграли между собой $2 \cdot $\frac{8d ( 8d - 1 )}{2}$ =8d ( 8d - 1 )$ партий и разыграли $8d ( 8d - 1 )$ очков. Из них у мальчиков три четверти очков, а у девочек  — одна четверть, то есть у девочек $2d ( 8d - 1 ) =16d ^2 - 2d$ очков. Заметим, что если каждая девочка выиграла у всех мальчиков, то вместе девочки набрали максимум $2 \cdot d \cdot 7d$ очков, а играя между собой, девочки распределили $2 \cdot $\frac{d ( d - 1 )}{2}$ =d ( d - 1 )$ очков. Поэтому наибольшее количество очков, которое могли набрать девочки, = $14d ^2 + d ( d - 1 )$ Таким образом, имеем: $16d ^2 - 2d меньше или = 15d ^2 - d = сильно d ^2 меньше или = d$ Следовательно, девочек не могло быть больше одной.
Если девочка была одна, то мальчиков было семеро. Они сыграли 56 партий и разыграли 56 очков. Девочка набрала 14 очков, выиграв у каждого из мальчиков по две партии. Играя между собой, мальчики разыграли оставшиеся 42 очка.

Ответ: а)  14; б)  90; в)  1.

Приведём похожее решение.
а)  Всего девочки играют 2 партии между собой и 12 партий против мальчиков (по 6 каждая). Поэтому максимальное суммарное число очков, которые они могут набрать, = 2 + 12  =  14.
б)  Если участников всего 10, то каждый играет с 9-ю другими участниками по два раза, значит, всего происходит 18 туров по 5 партий в каждом. В 90 партиях разыгрывается 90 очков, поэтому ответ 90.
в)  Пусть девочек d, а мальчиков $7d$ В партиях между собой девочки набрали $d ( d - 1 )$ очков, а мальчики в партиях между собой набрали $7d ( 7d - 1 )$ очков. Всего состоялось $8d ( 8d - 1 )$ партий. Значит, партий между мальчиками и девочками состоялось $8d ( 8d - 1 ) - 7d ( 7d - 1 ) - d ( d - 1 ) =14d ^2$ Пусть девочки набрали в них x очков. Тогда получаем уравнение: $3 ( d ( d - 1 ) + x ) =14d ^2 - x + 7d ( 7d - 1 )$ откуда $3d ^2 - 3d + 3x=14d ^2 - x + 49d ^2 - 7d$ или $x=15d ^2 - d$ Ясно, что $x \leqslant14d ^2$ отсюда $d ^2 меньше или = d$ то есть $d=0$ или $1$ Понятно, что 0  — посторонний корень. Если девочка была одна, то мальчиков было 7, в случае, когда девочка выиграла у всех мальчиков по два раза, она набрала 14 очков. При этом мальчики сыграли между собой 42 партии и набрали 42 очка, например сыграли все эти партии вничью или любым другим образом.

а)  Девочки играют 8 партий против мальчиков (каждая по 4), и максимальное число очков, которое они могут набрать в них, это 8. Друг с другом девочки играют 2 партии, сумма очков, которые разыгрываются в этих партиях, равна 2. Поэтому наибольшее количество очков = $8 + 2=10$
б)  Если каждый играет с каждым по два раза, то состоится 18 туров, в каждом из которых играется по 5 партий. В каждой разыгрывается 1 очко, поэтому сумма всех набранных очков равна 90.
в)  Докажем, что девочек может быть сколько угодно. Пусть мальчиков и девочек поровну: d мальчиков и d девочек. Тогда в двухкруговом турнире состоится $d ( d - 1 )$ партий между мальчиками и $d ( d - 1 )$ партий между девочками. Всего партий в этом турнире будет $2d ( 2d - 1 )$ поэтому партий между мальчиками и девочками будет $2d ( 2d - 1 ) - 2d ( d - 1 ) =2d ^2$ Пусть девочки набрали в этих партиях $d/2$ очков (например, каждая девочка сыграла с одним из мальчиков вничью, а остальным проиграла). Тогда общее количество очков, набранных девочками, = $d ( d - 1 ) + d/2=d ( d - 1/2 )$ Общее количество очков, набранных мальчиками = $d ( d - 1 ) + 2d ^2 - d/2=3d ( d - 1/2 )$ Таким образом, мальчики набрали втрое больше очков, чем девочки.

Ответ: а)  10; б)  90; в)  все натуральные числа.

а)  Пусть $a=10,b=20, c=11$ и $d=37$ Тогда $\frac{a + c}{b + d} = $\frac{21}{57}$ = \frac{7}{19}$
б)  Предположим, что $11 \cdot $\frac{a + c}{b + d}$ = $\frac{a}{b}$ + \frac{c}{d}$ Тогда

$11 ( a + c ) bd= ( b + d ) ( ad + bc ) = сильно 11abd + 11bcd=abd + bcd + ad ^2 + b ^2 c = сильно$ $11 ( a + c ) bd= ( b + d ) ( ad + bc ) = сильно$
$ = сильно 11abd + 11bcd=abd + bcd + ad ^2 + b ^2 c = сильно$
$ = сильно 10abd - ad ^2 =b ^2 c - 10bcd = сильно ad ( 10b - d ) =bc ( b - 10d )$

С другой стороны, имеем: $10b - d больше или = 10 \cdot 10 - 99 больше 0 больше 99 - 10 \cdot 10 больше или = b - 10d$ Следовательно, числа $ad ( 10b - d )$ и $bc ( b - 10d )$ разные знаки и, значит, левая и правая часть в последнем равенстве не могут быть равны. Пришли к противоречию.
в)  Из условия следует, что $99 больше или = a больше или = 3b + 1$ и $c больше или = 6d + 1$ Значит, $b меньше или = $\frac{98}{3}$ меньше 33$ Отсюда, учитывая, что число b целое, получаем, что $b меньше или = 32$ Используя неравенства $a больше или = 3b + 1,c больше или = 6d + 1,b меньше или = 32$ и $d больше или = 10$ получаем:

$\frac{a + c}{b + d} больше или = $\frac{3b + 6d + 2}{b + d}$ =3 + $\frac{3d + 2}{b + d}$ \geqslant3 + $\frac{3d + 2}{d + 32}$ =6 - $\frac{94}{d + 32}$ \geqslant6 - $\frac{94}{42}$ = \frac{79}{21}$ $\frac{a + c}{b + d} больше или = $\frac{3b + 6d + 2}{b + d}$ =3 + $\frac{3d + 2}{b + d}$ \geqslant3 + $\frac{3d + 2}{d + 32}$ =$
$=6 - $\frac{94}{d + 32}$ \geqslant6 - $\frac{94}{42}$ = \frac{79}{21}$

Пусть $a=97,b=32,c=61$ и $d=10$ Тогда $\frac{a + c}{b + d} = $\frac{158}{42}$ = \frac{79}{21}$ Следовательно, наименьшее возможное значение дроби $\frac{a + c}{b + d}$ = $\frac{79}{21}$

Ответ: а)  да, например, если $a=10,b=20,c=11$ и $d=37$ б)  нет; в)   $\frac{79}{21}$

а)  Для чисел x  =  17 и y  =  10 выполняется условие 3x  =  8y −29, q  =  170, d  =  1, $\frac{q}{d} =170$
б)  и в) При x  =  1 и y  =  4 выполняется равенство 3x  =  8y − 29 и $\frac{q}{d} =4$ Покажем, что никакое значение $\frac{q}{d} меньше 4$ не реализуется.
Если x  =  y, то $x=y= \frac{29}{5}$ что невозможно, поскольку числа x и y  — натуральные. Пусть x  =  ad, a y  =  bd. Тогда натуральные числа a и b взаимно просты. Получаем $q= $\frac{xy}{d}$ =abd$ откуда  $\frac{q}{d} = ab$
Если $\frac{q}{d} = 1$ то a  =  b, что невозможно.
Если $\frac{q}{d} = 2$ то a  =  1, b  =  2 и, значит, y  =  2x, откуда $x= \frac{29}{13}$ что невозможно, или a  =  2, b  =  1 и, значит, x  =  2y, откуда $y= \frac{29}{2}$ что также невозможно.
Если $\frac{q}{d} = 3$ то a  =  1, b  =  3 и, значит, y  =  3x, откуда $x= \frac{29}{21}$ что невозможно, или a  =  3, b  =  1 и, значит, x  =  3y, откуда $y= - 29$ что также невозможно.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  4.

а)  Пусть a  =  11, b  =  30, c  =  16 и d  =  39. Тогда $\frac{a + c}{b + d} = $\frac{27}{69}$ = \frac{9}{23}$
б)  Предположим, что $11 \cdot $\frac{a + c}{b + d}$ = $\frac{a}{b}$ + \frac{c}{d}$ Тогда

$11 \cdot ( a + c ) bd= ( b + d ) ( ad + bc )$
$11abd + 11bcd=abd + bcd + ad ^2 + b ^2 c$
$10abd - ad ^2 =b ^2 c - 10bcd$
$ad ( 10b - d ) =bc ( b - 10d )$

С другой стороны, имеем

$10b - d\geqslant10 \cdot 10 - 99 больше 0 больше 99 - 10 \cdot 10 больше или = b - 10d$

Следовательно, числа $ad ( 10b - d )$ и $bc ( b - 10d )$ имеют разные знаки и не могут быть равны. Пришли к противоречию.
в)  Из условия следует, что $99 больше или = a больше или = 5b + 1$ и $с больше или = 8d + 1$ Значит, $b меньше или = $\frac{98}{5}$ меньше 20$ Отсюда, учитывая, что число b целое, получаем, что b ≤ 19.
Используя неравенства

$a\geqslant5b + 1,c\geqslant8d + 1,b меньше или = 19,d больше или = 10$

получаем

$\frac{a + c}{b + d} больше или = $\frac{5b + 8d + 2}{b + d}$ =5 + $\frac{3d + 2}{b + d}$ \geqslant5 + $\frac{3d + 2}{d + 19}$ =8 - $\frac{55}{d + 19}$ \geqslant8 - $\frac{55}{29}$ = \frac{177}{29}$ $\frac{a + c}{b + d} больше или = $\frac{5b + 8d + 2}{b + d}$ =5 + $\frac{3d + 2}{b + d}$ \geqslant5 + $\frac{3d + 2}{d + 19}$ =$
$=8 - $\frac{55}{d + 19}$ \geqslant8 - $\frac{55}{29}$ = \frac{177}{29}$

Пусть a  =  96, b  =  19, c  =  81 и d  =  10. Тогда $\frac{a + c}{b + d} = \frac{177}{29}$ Следовательно, наименьшее возможное значение дроби $\frac{a + c}{b + d}$ = $\frac{177}{29}$

Ответ: а)  да, например, если a  =  11, b  =  30, c  =  16 и d  =  39; б)  нет; в)   $\frac{177}{29}$

а)  Пусть a  =  10, b  =  20, c  =  14 и d  =  72. Тогда $\frac{a + c}{b + d} = $\frac{24}{92}$ = \frac{6}{23}$
б)  Предположим, что $11 \cdot $\frac{a + c}{b + d}$ = $\frac{a}{b}$ + \frac{c}{d}$ Тогда

$11 \cdot ( a + c ) bd= ( b + d ) ( ad + bc )$
$11abd + 11bcd=abd + bcd + ad ^2 + b ^2 c$
$10abd - ad ^2 =b ^2 c - 10bcd$
$ad ( 10b - d ) =bc ( b - 10d )$

С другой стороны, имеем

$10b - d\geqslant10 \cdot 10 - 99 больше 0 больше 99 - 10 \cdot 10 больше или = b - 10d$

Следовательно, числа $ad ( 10b - d )$ и $bc ( b - 10d )$ имеют разные знаки и не могут быть равны. Пришли к противоречию.
в)  Из условия следует, что $99 больше или = a больше или = 4b + 1$ и $с больше или = 7d + 1$ Значит, $b меньше или = $\frac{98}{4}$ меньше 25$ Отсюда, учитывая, что число b целое, получаем, что b ≤ 24.
Используя неравенства

$a\geqslant4b + 1,c\geqslant7d + 1,b меньше или = 24,d больше или = 10$

получаем

$\frac{a + c}{b + d} больше или = $\frac{4b + 7d + 2}{b + d}$ =4 + $\frac{3d + 2}{b + d}$ \geqslant4 + $\frac{3d + 2}{d + 24}$ =7 - $\frac{70}{d + 24}$ \geqslant7 - $\frac{70}{34}$ = \frac{84}{17}$ $\frac{a + c}{b + d} больше или = $\frac{4b + 7d + 2}{b + d}$ =4 + $\frac{3d + 2}{b + d}$ \geqslant4 + $\frac{3d + 2}{d + 24}$ =$
$=7 - $\frac{70}{d + 24}$ \geqslant7 - $\frac{70}{34}$ = \frac{84}{17}$

Пусть a  =  97, b  =  24, c  =  71 и d  =  10. Тогда $\frac{a + c}{b + d} = $\frac{168}{34}$ = \frac{84}{17}$ Следовательно, наименьшее возможное значение дроби $\frac{a + c}{b + d}$ = $\frac{84}{17}$

Ответ: а)  да, например, если a  =  10, b  =  20, c  =  14 и d  =  72; б)  нет; в)   $\frac{84}{17}$

а)  Примером таких чисел являются 5014, 5015, …, 5033. Очень счастливыми среди них являются числа 5014, 5023 и 5032.
б)  Предположим, что это возможно. Пусть $\overlineabcd$   — десятичная запись меньшего из этих двух очень счастливых чисел, а $\overlineklmn$   — десятичная запись большего из них. Из условия следует, что либо 10с + d + 16  =  10m + n, либо 10c + d + 16  =  100 + 10m + n. Отсюда получаем, что либо (m + n) − (c + d)  =  9(c – m + 1) + 7, либо (m + n) − (c + d)  =  9(c − m − 10) + 6. Значит, число (m + n) − (c + d) даёт при делении на 9 или остаток 7, или остаток 6.
Также из условия следует, что либо 1000a + 100b + 2000  =  1000k + 100l, либо 1000a + 100b + 2100  =  1000k + 100l.
Отсюда получаем, что либо (k + l) − (a + b)  =  9(a − k + 2) + 2, либо (k + l) − (a + b)  =  9(a − k + 2) + 3. Значит, число (k + l) − (a + b) даёт при делении на 9 или остаток 2, или остаток 3. Приходим к противоречию, поскольку по условию (k + l) − (a + b)  =  (m + n) − (c + d).
в)  Покажем, что искомое число = 11. Для этого сначала приведём примеры очень счастливых четырёхзначных чисел, кратных 2, 3, 5 и 7: число 2680 кратно 2 и 5; число 1890 кратно 3 и 7.
Пусть $\overlineabcd$   — десятичная запись какого-⁠либо очень счастливого числа, кратного 11. Тогда

$\overlineabcd=1000a + 100b + 10c + d=11 ( 91a + 9b + c ) + ( b - a + d - c )$

Получаем, что число b − a + d − c кратно 11. Поскольку a , b, c и d  — цифры, отсюда следует, что либо b − a + d − c  =  0, либо b − a + d − c  =  11, либо b − a + d − c  =  −11.
В первом случае имеем a + b  =  c + d и a + c  =  b + d. Вычитая эти равенства, получаем b − c  =  c − b, то есть b  =  c,  — противоречие. Во втором случае имеем a + b  =  c + d и a + c + 11  =  b + d. Вычитая эти равенства, получаем b − c − 11  =  c − b, то есть 2(b − c)  =  11,  — тоже противоречие, поскольку 11 не кратно 2. Аналогичное противоречие получается и в третьем случае. Значит, не существует очень счастливых четырёхзначных чисел, кратных 11.

Ответ: а)  да, например 5014, 5015, …, 5033; б)  нет; в)  11.

а)  Из условия получаем:

$a ^2 - b ^2 + c ^2 - d ^2 - a - b - c - d=12 = сильно ( a - b ) ( a + b ) + ( c - d ) ( c + d ) - a - b - c - d=12 = сильно$ $a ^2 - b ^2 + c ^2 - d ^2 - a - b - c - d=12 = сильно$
$ = сильно ( a - b ) ( a + b ) + ( c - d ) ( c + d ) - a - b - c - d=12 = сильно$
$ = сильно ( a - b - 1 ) ( a + b ) + ( c - d - 1 ) ( c + d ) =12$

Поскольку $a + b + c + d=15 больше 12$ получаем: $a=b + 1$ или $c=d + 1$
В первом случае из равенства $( c - d - 1 ) ( c + d ) =12$ учитывая, что $c - d - 1 меньше c + d меньше \frac{15}{2}$ и числа $с + d$ и $c - d - 1$ имеют разную чётность, находим $c + d=4,c - d - 1=3$ чего не может быть.
Во втором случае из неравенства $( a - b - 1 ) ( a + b ) =12$ учитывая, что $a + b больше \frac{15}{2}$ находим $a + b=12,a - b - 1=1$ откуда получаем: $a=7,b=5,c=2,d=1$
б)  Из условия получаем:

$a ^2 - b ^2 + c ^2 - d ^2 =a + b + c + d = сильно ( a - b ) ( a + b ) + ( c - d ) ( c + d ) =a + b + c + d = сильно$ $a ^2 - b ^2 + c ^2 - d ^2 =a + b + c + d = сильно$
$ = сильно ( a - b ) ( a + b ) + ( c - d ) ( c + d ) =a + b + c + d = сильно$
$ = сильно ( a - b - 1 ) ( a + b ) + ( c - d - 1 ) ( c + d ) =0$

Поскольку $a больше b$ получаем, что $a больше или = b + 1$ то есть $a - b - 1 \geqslant0,a + b больше 0$ Аналогично $c - d - 1\geqslant0,c + d больше 0$ последнее равенство выполняется только при $a=b + 1$ и $c=d + 1$ Значит, $2b + 2d + 2=19$ что невозможно.
в)  Из равенства $a ^2 - b ^2 + c ^2 - d ^2 =a + b + c + d$ получаем: $a=b + 1,c=d + 1$ Значит, $2a + 2d=1000;d=500 - a$ Получаем четвёрку чисел $( a;b;c;d ) = ( a;a - 1;501 - a;500 - a )$ Поскольку $b больше c$ получаем: $a больше 251$ Кроме того, $d больше 0$ откуда $a меньше 500$
Значит, a принадлежит промежутку (251; 500). Более того, для любого целого a из этого промежутка найденная четвёрка чисел удовлетворяет условию задачи. Таким образом, a может принимать 248 значений.

Ответ: а)  a  =  7, b  =  5, c  =  2, d  =  1; б)  нет; в)  248.

а)  Из условия получаем:

$a ^2 - b ^2 + c ^2 - d ^2 - a - b - c - d=4 = сильно ( a - b ) ( a + b ) + ( c - d ) ( c + d ) - a - b - c - d=4 = сильно$ $a ^2 - b ^2 + c ^2 - d ^2 - a - b - c - d=4 = сильно$
$ = сильно ( a - b ) ( a + b ) + ( c - d ) ( c + d ) - a - b - c - d=4 = сильно$
$ = сильно ( a - b - 1 ) ( a + b ) + ( c - d - 1 ) ( c + d ) =4$

Поскольку $a + b + c + d=15 больше 4$ получаем: $a=b + 1$ или $c=d + 1$
В первом случае из равенства $( c - d - 1 ) ( c + d ) =4$ находим $c + d=4$ и $c - d - 1=1$ откуда получаем: $a=6,b=5,c=3$ и $d=1$
Второй случай не реализуется, поскольку $a + b больше \frac{15}{2}$ а $( a - b - 1 ) ( a + b ) =4$
б)  Из условия получаем:

$a ^2 - b ^2 + c ^2 - d ^2 =a + b + c + d = сильно ( a - b ) ( a + b ) + ( c - d ) ( c + d ) =a + b + c + d = сильно$ $a ^2 - b ^2 + c ^2 - d ^2 =a + b + c + d = сильно$
$ = сильно ( a - b ) ( a + b ) + ( c - d ) ( c + d ) =a + b + c + d = сильно$
$ = сильно ( a - b - 1 ) ( a + b ) + ( c - d - 1 ) ( c + d ) =0$

Поскольку $a больше b$ получаем, что $a больше или = b + 1$ то есть $a - b - 1 \geqslant0,a + b больше 0$ Аналогично $c - d - 1\geqslant0,c + d больше 0$ последнее равенство выполняется только при $a=b + 1$ и $c=d + 1$ Значит, $2b + 2d + 2=23$ что невозможно.
в)  Из равенства $a ^2 - b ^2 + c ^2 - d ^2 =a + b + c + d$ получаем: $a=b + 1,c=d + 1$ Значит, $2a + 2d=1200,d=600 - a$ Получаем четвёрку чисел $( a,b,c,d ) = ( a,a - 1,601 - a,600 - a )$ Поскольку $b больше c$ получаем: $a больше 301$ Кроме того, $d больше 0$ откуда $a меньше 600$
Значит, a принадлежит промежутку (301; 600). Более того, для любого целого a из этого промежутка найденная четвёрка чисел удовлетворяет условию задачи. Таким образом, a может принимать 298 значений.

Ответ: а)  a  =  6, b  =  5, c  =  3, d  =  1; б)  нет; в)  298.

а)  Да, например $\frac{1}{2} + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{12}$ =1$
б)  Да, например $\frac{1}{2} + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{9}$ + $\frac{1}{18}$ =1$
в)  Если все четыре числа больше четырех, то сумма обратных к ним меньше четырех четвертых, то есть меньше 1. Если все числа не меньше четырех, то равенство возможно лишь для $a=b=c=d=4$ но в этом случае равны все числа, а не ровно два из них. Наконец, ни одно из чисел не = единице. Следовательно, среди чисел непременно есть 2 или 3. Будем считать, что $c=d$ Умножим обе части равенства на abc, получим: $abc=ac + bc + 2ab$ В силу симметрии а и b достаточно рассмотреть случай, когда 2 или 3 = либо a, либо c. Рассмотрим эти варианты.
1.  Пусть $a=2$ тогда $2bc=2c + bc + 4b$ то есть $bc - 2c - 4b=0$ откуда $( b - 2 ) ( c - 4 ) =8$ Это дает варианты $b=10$ $c=5$ $b=c=6$ (не подходит, поскольку три числа равны 6), $b=4$ $c=8$ $b=3$ $c=12$
2.  Пусть $a=3$ тогда $3bc=3c + bc + 6b$ то есть $2bc - 3c - 6b=0$ откуда $( 2b - 3 ) ( 2c - 6 ) =18$ Это дает варианты $b=2$ $c=12$ $b=3$ $c=6$ (не подходит, поскольку дает две пары одинаковых чисел); $b=6$ $c=4$
3.  Пусть $c=2$ тогда $2ab=2a + 2b + 2ab$ откуда $a + b=0$ что невозможно.
4.  Пусть $c=3$ тогда $3ab=3a + 3b + 2ab$ а значит, $ab - 3a - 3b=0$ откуда получаем, что $( a - 3 ) ( b - 3 ) =9$ Отсюда имеем: $a=4$ $b=12$ $a=12$ $b=4$ $a=b=6$ (не подходит, поскольку дает две пары одинаковых чисел).
Из найденных наборов в ответ необходимо включить те, которые соответствуют различным наборам чисел, без учета их прядка в наборах. Это $\{ 2;10;5;5 \} , \{ 2;4;8;8 \} , \{ 2;3;12;12 \} , \{ 3;6;4;4 \} , \{ 4;12;3;3 \}$

Ответ: а)  да; б)  да, в)   $\{ 2;10;5;5 \} , \{ 2;4;8;8 \} , \{ 2;3;12;12 \} , \{ 3;6;4;4 \} , \{ 4;12;3;3 \}$

Заметим, что треугольник тупоугольный тогда и только тогда, когда сумма квадратов длин его меньших сторон меньше квадрата большей стороны.
а)  Да, например в треугольнике со сторонами 13, 7, 8 выполнено $13 меньше 7 + 8$ и $13 ^2 больше 7 ^2 + 8 ^2$
б)  Нет. Пусть большая сторона равна 8x, а меньшая  — 7x. Тогда средняя не меньше 7x, но $( 7x ) ^2 + ( 7x ) ^2 больше ( 8x ) ^2$
в)  Пусть меньшая сторона равна a, а большая равна c. Тогда $c ^2 больше 625 + a ^2$ $c меньше 25 + a$ и нужно минимизировать $\frac{c}{a}$ Рассмотрим любую подходящую пару чисел $( a,c )$ и увеличим оба числа на единицу. Тогда по-⁠прежнему $( c + 1 ) ^2 больше 625 + ( a + 1 ) ^2$ (к правой части прибавили $2c + 1$ а к левой  — $2a + 1$ ), $c + 1 меньше 25 + ( a + 1 )$ (к обеим частям прибавили поровну), а отношение уменьшилось (было $1 + \frac{c - a}{a}$ стало $1 + \frac{c - a}{a + 1}$ ). Поэтому можно увеличивать a, пока оно не станет =  24.
Теперь будем просто уменьшать c, пока это возможно, то есть пока $c ^2 больше 625 + 576=1201$ Наименьшее такое c  — это 35. Поэтому ответ $\frac{35}{24}$

Ответ: а)  да; б)  нет; в)   $\frac{35}{24}$

Комментарий Сергея Николаева.
Укажем, как получить оценку из п. в) геометрически. Пусть меньшая сторона равна a, большая равна c, а С  — угол, противолежащий стороне длины с. Из теоремы \cos ов следует, что $( $\frac{c}{a}$ ) ^2 = $\frac{625}{a ^2}$ + $\frac{50| \cos C}{|}$ a + 1$ Из полученного соотношения видно, что для любого угла C (при фиксированной величине c) отношение c/a минимально при максимальном возможном a, то есть при a  =  24. Далее, так же как в приведенном выше решении, получаем, что при любом фиксированном значении угла C искомое отношение минимально при c  =  35, а значит, не зависит от угла C.

а)  Да, могло. Например, если числа записаны в порядке 9, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 18, 17, 10.
б)  Всего по кругу записано 10 чисел. Для каждой пары соседних чисел мы ищем наибольший общий делитель, следовательно, получим 10 наибольших общих делителей. Если они все попарно различны, то хотя бы один из них не меньше 10. Но такого быть не может, поскольку для данных чисел наибольший из всевозможных наибольших общих делителей есть НОД(18, 9)  =  9.
в)  Числа 11, 13 и 17 являются простыми, наибольшие общие делители этих чисел со всеми остальными числами равняются 1. Каждое из чисел имеет двух соседей, следовательно, хотя бы два числа из этих трёх будут иметь по крайней мере одного соседа, отличного от этих трёх чисел. Таким образом, хотя бы четыре из всех наибольших общих делителей будут равняться 1, то есть совпадать. Следовательно, не может быть больше, чем семь попарно различных наибольших общих делителей, поскольку всего их десять, причём четыре совпадают. Для расстановки 9, 18, 12, 16, 14, 13, 11, 17, 10, 15 получается ровно 7 попарно различных наибольших общих делителей.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  семь.

Приведем решение пункта б) Сергея Николаева.
Среди чисел от 9 до 18 есть простые числа 11, 13, 17. Для пары, содержащей простое число, наибольший общий делитель равен 1. Следовательно, хотя бы для двух пар наибольшие общие делители совпадают.

а)  Да. Например, Коля умножил 6 на 7, получив 42, а Вова умножил 6 на 8, получив 48. Модуль разности полученных произведений равен 6.
б)  Заметим, что произведение последовательных чисел всегда четно, поскольку одно из них четно. Таким образом, Колино произведение будет четным. Вовино же произведение четно в силу того, что он перемножает два четных числа. Значит, и модуль разности чисел a и b будет четным. Таким образом, он не может быть равен 13.
в)  Как было показано в пункте б), модуль разности будет четным. Покажем, что он не может быть равен нулю. Пусть Коля перемножал числа x и $x + 1$ а Вова  ― числа y и $y + 2$ Тогда, если модуль разности их произведений равен нулю, имеем:

$x ( x + 1 ) =y ( y + 2 ) = сильно x ^2 + x=y ^2 + 2y = сильно x ^2 + x + 1= ( y + 1 ) ^2$

Заметим, что $x меньше y + 1$ поскольку $x ^2 меньше ( y + 1 ) ^2$ С другой стороны, $y + 1 меньше x + 1$ поскольку $( y + 1 ) ^2 =x ^2 + x + 1 меньше ( x + 1 ) ^2$
Итак, $x меньше y + 1 меньше x + 1$ но натуральное число не может лежать между двумя соседними натуральными числами. Значит, модуль разности не может равняться $0$ Тогда он не меньше $2$ поскольку четен.
Покажем, что он может принимать любое четное натуральное значение. Пусть Коля умножил четное число n на $n + 1$ а Вова умножил n на $n + 2$ Тогда модуль разности их произведений равен:

$n ( n + 2 ) - n ( n + 1 ) =n$

Ввиду того, что n  ― любое четное натуральное число, искомый модуль разности может принимать любое четное натуральное значение.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  все четные натуральные числа.

а)  При любой расстановке разность числа 11 и любого соседнего с ним числа меньше 11. Значит, всегда найдутся хотя бы две разности меньше 11.
б)  Например, для расстановки 1, 12, 2, 13, 3, 14, 4, 15, 5, 16, 6, 17, 7, 18, 8, 19, 9, 20, 10, 21, 11 все разности не меньше 10.
в)  Оценим значение k. Рассмотрим числа от 1 до 7. Если какие-то два из них стоят рядом или через одно, то найдется разность меньше 7. Иначе они стоят через два, поскольку всего чисел 21. В этом случае число 8 стоит рядом или через одно с каким-то числом от 2 до 7 и найдется разность меньше 7.
Таким образом, всегда найдется разность меньше 7. Все разности могут быть не меньше 6. Например, для расстановки 1, 8, 15, 2, 9, 16, 3, 10, 17, 4, 11, 18, 5, 12, 19, 6, 13, 20, 7, 14, 21 все разности не меньше 6.

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  6.