а)  Да. Имеем

$125 \cdot 126 \cdot 127=125 \cdot ( 8 \cdot 16 - 2 ) \cdot ( 8 \cdot 16 - 1 ) =1000 \cdot ( 8 \cdot 16 ^2 - 3 \cdot 16 ) + 250$ $125 \cdot 126 \cdot 127=125 \cdot ( 8 \cdot 16 - 2 ) \cdot ( 8 \cdot 16 - 1 ) =$
$=1000 \cdot ( 8 \cdot 16 ^2 - 3 \cdot 16 ) + 250$

Значит, десятичная запись этого произведения оканчивается на 250.
б)  Нет. Предположим, что десятичная запись произведения $p=n ( n + 1 ) ( n + 2 )$ некоторых трёхзначных чисел n, n + 1 и n + 2 оканчивается на 8750. Тогда для некоторого натурального числа k имеем

$p=k \cdot 10 в степени 4 + 8750=2 \cdot 5 в степени 4 \cdot ( 8k + 7 )$

Поскольку из чисел n, n + 1 и n + 2 только одно может делиться на 5, именно это число должно делиться и на 54  =  625. Есть лишь одно такое трёхзначное число  — это 625. Значит, либо n  =  623, либо n  =  624, либо n  =  625. В первых двух случаях p делится на 4, что противоречит равенству $p=2 \cdot 5 в степени 4 \cdot ( 8k + 7 )$ Если n  =  625, то

$p=625 \cdot 626 \cdot 627=2 \cdot 5 в степени 4 \cdot 313 \cdot 627$

Это также противоречит равенству $p=2 \cdot 5 в степени 4 \cdot ( 8k + 7 )$ так как число 313 · 627 даёт остаток 3 при делении на 8.
в)  Пусть n  — искомое число. Тогда десятичная запись произведения $p=n ( n + 1 ) ( n + 2 )$ оканчивается на 4000. Это происходит тогда и только тогда, когда для некоторого натурального числа k имеем

$p=k \cdot 10 в степени 4 + 4000=2 в степени 4 \cdot 5 ^3 \cdot ( 5k + 2 )$

Поскольку из чисел n, n + 1 и n + 2 только одно может делиться на 5, именно это число должно делиться и на 53  =  125. Значит, либо n  =  125m, либо n  =  125m − 1, либо n  =  125m − 2 для некоторого числа $m=1,2,\dots,7$ Поскольку произведение p делится на 24  =  16, а среди чисел n, n + 1 и n + 2 не более двух чётных и не более одного кратного 4, получаем, что одно из этих чисел должно делиться на 8. Следовательно, число n при делении на 8 должно давать в остатке 0, 6 или 7.
Рассмотрим случай n  =  125m $( m=1,2,\dots,7 )$ Нужный остаток при делении на 8 будет лишь при m  =  3 и m  =  6. При m  =  3 произведение p  =  375 · 376 · 377 не делится на 16. При m  =  6 имеем

$p=750 \cdot 751 \cdot 752=2 в степени 4 \cdot 5 ^3 \cdot ( 3 \cdot 751 \cdot 94 )$

Число 3 · 751 · 94 действительно даёт при делении на 5 остаток 2. Значит, число n  =  750  — одно из искомых.
Рассмотрим случай n  =  125m − 1 $( m=1,2,\dots,7 )$ Нужный остаток при делении на 8 будет лишь при m  =  3 и m  =  5. При m  =  3 имеем

$p=374 \cdot 375 \cdot 376=2 в степени 4 \cdot 5 ^3 \cdot ( 187 \cdot 3 \cdot 47 )$

Число 187 · 3 · 47 действительно даёт при делении на 5 остаток 2. Значит, число n  =  374  — одно из искомых. При m  =  5 произведение p  =  624 · 625 · 626 делится на 625  =  54, противоречие.
Наконец, рассмотрим случай n  =  125m − 2 $( m=1,2,\dots,7 )$ Нужный остаток при делении на 8 будет лишь при m  =  2 и m  =  5. При m  =  2 имеем

$p=248 \cdot 249 \cdot 250=2 в степени 4 \cdot 5 ^3 \cdot ( 31 \cdot 249 )$

Число 31 · 249 не даёт при делении на 5 остаток 2, противоречие. При m  =  5 произведение p  =  623 · 624 · 625 делится на 625  =  54, противоречие.
Следовательно, все искомые числа n  — это 374 и 750.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  374 и 750.