Дано натуральное трехзначное число n, в записи которого нет нулей. Для этого числа составим дробь f(n), в числителе которой само число n, а в знаменателе — произведение всех цифр числа n.
а) Приведите пример такого числа n, для которого $f ( n ) = \frac{119}{24}$
б) Существует ли такое n, что $f ( n ) = \frac{125}{24}$ ?
в) Какое набольшее значение может принимать дробь f(n), если она равна несократимой дроби со знаменателем 24?
а) Приведите пример такого числа n, для которого $f ( n ) = \frac{119}{24}$
б) Существует ли такое n, что $f ( n ) = \frac{125}{24}$ ?
в) Какое набольшее значение может принимать дробь f(n), если она равна несократимой дроби со знаменателем 24?
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Подходит, например, 238, поскольку $\frac{238}{2 \cdot 3 \cdot 8} = \frac{119}{24}$
б) Поскольку при сокращении дроби и в числителе и в знаменателе остаются делители изначального числа и произведения его цифр, число должно было делиться на 125. Если при этом оно было четным, то заканчивалось на 0, поэтому его произведение цифр было нулем, что невозможно. Проверяя числа 125, 375, 625, 875, видим, что ни у одного из них произведение цифр не кратно 24.
в) Если дробь несократима, в числителе должно стоять число с произведением цифр 24, при этом не кратное 2 и 3. Девятки и семерки среди его цифр точно нет, если есть восьмерка, то остальные цифры — 3 и 1, что дает числитель, кратный 3. Если же максимальная из цифр шестерка, то остальные либо 2 и 2 (тогда число четно), либо 4 и 1. Таким образом, получаем $\frac{641}{24}$
Если же дробь сократима, то ее числитель после сокращения не превосходит $999:2 меньше 641$ поэтому такие дроби точно не дадут максимальный результат.
Ответ: а) 238; б) нет; в) $\frac{641}{24}$
б) Поскольку при сокращении дроби и в числителе и в знаменателе остаются делители изначального числа и произведения его цифр, число должно было делиться на 125. Если при этом оно было четным, то заканчивалось на 0, поэтому его произведение цифр было нулем, что невозможно. Проверяя числа 125, 375, 625, 875, видим, что ни у одного из них произведение цифр не кратно 24.
в) Если дробь несократима, в числителе должно стоять число с произведением цифр 24, при этом не кратное 2 и 3. Девятки и семерки среди его цифр точно нет, если есть восьмерка, то остальные цифры — 3 и 1, что дает числитель, кратный 3. Если же максимальная из цифр шестерка, то остальные либо 2 и 2 (тогда число четно), либо 4 и 1. Таким образом, получаем $\frac{641}{24}$
Если же дробь сократима, то ее числитель после сокращения не превосходит $999:2 меньше 641$ поэтому такие дроби точно не дадут максимальный результат.
Ответ: а) 238; б) нет; в) $\frac{641}{24}$
Правильный ответ:
а) 238; б) нет; в) $дробь: числитель: 641, знаменатель: 24 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 65319 • Задание №5
[рис.] Даны два квадрата, диагонали которых равны 10 и 6. Найдите диагональ квадрата, площадь которого равна р...
ID 65831 • Задание №7
Найдите $9 косинус 2 альфа$ если $косинус альфа = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби$...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующий результатов:
― обоснованное решение в п. а;
― пример в п. б;
― искомая оценка в п. в;
― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующий результатов:
― обоснованное решение в п. а;
― пример в п. б;
― искомая оценка в п. в;
― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...