Из пары натуральных чисел (a; b), где $a больше b$ за один ход получают пару (a + b; a – b).
а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (50; 9) пару, большее число в которой = 200?
б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (50; 9) пару (408; 370)?
в) Какое наименьшее a может быть в паре (a; b), из которой за несколько ходов можно получить пару (408; 370).
а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (50; 9) пару, большее число в которой = 200?
б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (50; 9) пару (408; 370)?
в) Какое наименьшее a может быть в паре (a; b), из которой за несколько ходов можно получить пару (408; 370).
💡 Пошаговый разбор и решение:
Заметим, что $a + b больше a - b$ поэтому второй ход даст
$( a + b + a - b, a + b - ( a - b ) ) = ( 2a, 2b )$
Итак, за два хода числа удваиваются.
а) Если сделать 4 хода, 50 удвоится дважды и получится 200.
б) Заметим, что $( 50, 9 ) \mapsto ( 59, 41 )$ Дальше все пары будут либо вида $( 2 в степени k \cdot 50, 2 в степени k \cdot 9 )$ либо вида $( 2 в степени k \cdot 59, 2 в степени k \cdot 41 )$ Поскольку 370 кратно 37, а ни одно из чисел в этих парах не кратно 37, получить его нельзя.
в) Если пара (a, b) дала пару (408, 370), то $a + b=408$ и $a - b = 370$ откуда $a = 389$ и $b=19$
поскольку за два хода числа в паре удваиваются, осталось построить предыдущие пары делением на 2. Пара (389, 19) вообще не получается удвоением, а пара (408, 370) получается удвоением пары (204, 185), которую уже нельзя поделить на 2.
Значит все такие пары это (389, 19) и (204, 185). Наименьшее a именно в ней.
Ответ: а) да; б) нет; в) 204.
$( a + b + a - b, a + b - ( a - b ) ) = ( 2a, 2b )$
Итак, за два хода числа удваиваются.
а) Если сделать 4 хода, 50 удвоится дважды и получится 200.
б) Заметим, что $( 50, 9 ) \mapsto ( 59, 41 )$ Дальше все пары будут либо вида $( 2 в степени k \cdot 50, 2 в степени k \cdot 9 )$ либо вида $( 2 в степени k \cdot 59, 2 в степени k \cdot 41 )$ Поскольку 370 кратно 37, а ни одно из чисел в этих парах не кратно 37, получить его нельзя.
в) Если пара (a, b) дала пару (408, 370), то $a + b=408$ и $a - b = 370$ откуда $a = 389$ и $b=19$
поскольку за два хода числа в паре удваиваются, осталось построить предыдущие пары делением на 2. Пара (389, 19) вообще не получается удвоением, а пара (408, 370) получается удвоением пары (204, 185), которую уже нельзя поделить на 2.
Значит все такие пары это (389, 19) и (204, 185). Наименьшее a именно в ней.
Ответ: а) да; б) нет; в) 204.
Правильный ответ:
а) да; б) нет; в) 204
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 66206 • Задание №8
Дано уравнение $4 в степени левая круглая скобка синус x умножить на тангенс x правая круглая скобка умножить ...
ID 65932 • Задание №8
На рисунке изображен график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и отмечены точки −2, −1...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...